1. Dê um exemplo de função inteira f(z) tal que \overline{f(z)} \neq f(\bar{z}).

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de uma função inteira f(z) tal que \overline{f(z)} \neq f(\overline z).
Lembre que uma função inteira é holomorfa em todo \mathbb{C} e que, se numa série de potências todos os coeficientes forem reais, então sempre vale \overline{f(z)}=f(\overline z).
Para obter a desigualdade desejada, basta escolher um polinômio com coeficiente não real.

Passo 2

Considere
f(z)=z+i,
que é um polinômio (logo inteira). Calculamos
\overline{f(z)}=\overline{z+i}=\overline z - i
e
f(\overline z)=\overline z + i.
Como \overline z - i\neq \overline z + i para todo z, concluímos que \overline{f(z)} \neq f(\overline z).

Resposta

f(z)=z+i

Exercícios relacionados