O que o enunciado pede: encontrar todas as soluções do sistema (ou seja, descrever o conjunto solução).]
Passo 2
Interpretar a matriz reduzida: cada linha não-nula representa uma equação independente. Aqui só há uma linha não-nula, que corresponde exatamente à primeira equação original. Logo, o sistema é equivalente à única equação
x+3y+z=0.
As outras duas linhas são nulas (todas as entradas zero), portanto não impõem condição adicional. Como a coluna augmentada (última coluna) é zero, o sistema é consistente (tem solução).
Passo 3
Identificar variáveis livres e variáveis de pivô (dependentes). Na forma reduzida a primeira coluna tem pivô (coeficiente 1 na primeira linha), enquanto as colunas de y e z não têm pivô. Portanto:
x é variável de pivô (depende das outras);
y e z são variáveis livres (podem ser escolhidas livremente).
Para parametrizar as soluções, atribuimos parâmetros às variáveis livres. Escolhemos
y=\lambda_{1},\qquad z=\lambda_{2},
onde \lambda_{1},\lambda_{2}\in\mathbb{R} são parâmetros.
Passo 4
Expressar x em função de \lambda_{1} e \lambda_{2}. Partindo de
x+3y+z=0,
substituindo y e z obtemos
x+3\lambda_{1}+\lambda_{2}=0.
Isolando x,
x=-3\lambda_{1}-\lambda_{2}.
Passo 5
Escrever a solução em forma vetorial (combinação linear). Juntando as coordenadas x,y,z temos
Interpretação final e dimensão do espaço solução: há duas variáveis livres, logo o conjunto solução é um subespaço de dimensão 2 (um plano através da origem em \mathbb{R}^{3}). Uma base desse plano é dada pelos vetores \left[\begin{smallmatrix}-3\\\ 1\\\ 0\end{smallmatrix}\right] e \left[\begin{smallmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\end{smallmatrix}\right].
\text{Base do espaço solução: }\left\{\left[\begin{array}{r}-3\\[4pt]1\\[4pt]0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{array}\right]\right\}ççã]