Exemplo 2: Resolver o sistema
\left\{\begin{array}{r} x+3 y+z=0 \\\\ 2 x+6 y+2 z=0 \\\\ -x-3 y-z=0 \end{array}\right.
A matriz associada é \left[\begin{array}{rrrr}1 & 3 & 1 & 0 \\\\ 2 & 6 & 2 & 0 \\\\ -1 & -3 & -1 & 0\end{array}\right]
que reduzida torna-se \left[\begin{array}{llll}1 & 3 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]
Reinterpretando, vemos que y e z são variáveis livres.
Fazendo y=\lambda_{1} e z=\lambda_{2}, temos
\begin{aligned} x & =-3 \lambda_{1}-\lambda_{2} \\\ y & =\lambda_{1} \\\ z & =\lambda_{2} \end{aligned}
As soluções básicas são então: x=-3, y=1, z=0 e x=-1, y=0, z=1.
Assim
\left[\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right]=\lambda_{1}\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right]+\lambda_{2}\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear
\left\{\begin{array}{r} x+3y+z=0,\\[4pt] 2x+6y+2z=0,\\[4pt] -x-3y-z=0 \end{array}\right.
e diz que a matriz aumentada associada é
\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 3 & 1 & 0 \\\\ 2 & 6 & 2 & 0 \\\\ -1 & -3 & -1 & 0 \end{array}\right]
e que sua forma reduzida por linhas é
\left[\begin{array}{llll} 1 & 3 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
O que o enunciado pede: encontrar todas as soluções do sistema (ou seja, descrever o conjunto solução).]

Passo 2

Interpretar a matriz reduzida: cada linha não-nula representa uma equação independente. Aqui só há uma linha não-nula, que corresponde exatamente à primeira equação original. Logo, o sistema é equivalente à única equação
x+3y+z=0.
As outras duas linhas são nulas (todas as entradas zero), portanto não impõem condição adicional. Como a coluna augmentada (última coluna) é zero, o sistema é consistente (tem solução).

Passo 3

Identificar variáveis livres e variáveis de pivô (dependentes). Na forma reduzida a primeira coluna tem pivô (coeficiente 1 na primeira linha), enquanto as colunas de y e z não têm pivô. Portanto:
  • x é variável de pivô (depende das outras);
  • y e z são variáveis livres (podem ser escolhidas livremente).
Para parametrizar as soluções, atribuimos parâmetros às variáveis livres. Escolhemos
y=\lambda_{1},\qquad z=\lambda_{2},
onde \lambda_{1},\lambda_{2}\in\mathbb{R} são parâmetros.

Passo 4

Expressar x em função de \lambda_{1} e \lambda_{2}. Partindo de
x+3y+z=0,
substituindo y e z obtemos
x+3\lambda_{1}+\lambda_{2}=0.
Isolando x,
x=-3\lambda_{1}-\lambda_{2}.

Passo 5

Escrever a solução em forma vetorial (combinação linear). Juntando as coordenadas x,y,z temos
\left[\begin{array}{c} x\\[4pt] y\\[4pt] z \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} -3\lambda_{1}-\lambda_{2}\\[4pt] \lambda_{1}\\[4pt] \lambda_{2} \end{array}\right] = \lambda_{1}\left[\begin{array}{r} -3\\[4pt] 1\\[4pt] 0 \end{array}\right] +\lambda_{2}\left[\begin{array}{r} -1\\[4pt] 0\\[4pt] 1 \end{array}\right].
Aqui separamos os termos em \lambda_{1} e \lambda_{2} para ver claramente que as soluções formam um espaço vetorial gerado por dois vetores.]

Passo 6

Exemplos de soluções básicas (base): tomar os parâmetros unitários fornece soluções particulares que geram todas as outras por combinação linear.
  • Se \lambda_{1}=1,\\ \lambda_{2}=0 então
\left[\begin{array}{c}x\y\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}-3\\\ 1\\\ 0\end{array}\right].
  • Se \lambda_{1}=0,\\ \lambda_{2}=1 então
\left[\begin{array}{c}x\y\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}-1\\\ 0\\\ 1\end{array}\right].
Qualquer solução é combinação linear dessas duas.

Passo 7

Interpretação final e dimensão do espaço solução: há duas variáveis livres, logo o conjunto solução é um subespaço de dimensão 2 (um plano através da origem em \mathbb{R}^{3}). Uma base desse plano é dada pelos vetores \left[\begin{smallmatrix}-3\\\ 1\\\ 0\end{smallmatrix}\right] e \left[\begin{smallmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\end{smallmatrix}\right].

Resposta

\left[\begin{array}{c} x\\[4pt] y\\[4pt] z \end{array}\right] =\lambda_{1}\left[\begin{array}{r} -3\\[4pt] 1\\[4pt] 0 \end{array}\right] +\lambda_{2}\left[\begin{array}{r} -1\\[4pt] 0\\[4pt] 1 \end{array}\right],\qquad \lambda_{1},\lambda_{2}\in\mathbb{R}
\text{Base do espaço solução: }\left\{\left[\begin{array}{r}-3\\[4pt]1\\[4pt]0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{array}\right]\right\}ççã]