- Dê um exemplo de três vetores linearmente dependentes em
tais que nenhum dos três seja múltiplo de outro.
Passo 1
O enunciado pede que eu dê um exemplo de três vetores em
que sejam linearmente dependentes e, ao mesmo tempo, que nenhum dos três seja múltiplo de outro.
Informações fornecidas (que eu devo atender na resposta):
Informações fornecidas (que eu devo atender na resposta):
- Devem ser exatamente três vetores em
. - Os vetores devem ser linearmente dependentes.
- Nenhum vetor pode ser múltiplo escalar de outro (ou seja, não pode haver dois vetores colineares entre si).
Passo 2
Vou lembrar (didaticamente) o que significa “linearmente dependentes”, porque isso é o que a prova vai cobrar na hora.
Definição: três vetores são linearmente dependentes se existem escalares
, nem todos nulos, tais que
Definição: três vetores
Isto quer dizer que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros dois. Para construir um exemplo simples na prova, uma estratégia comum é pegar dois vetores linearmente independentes (ou seja, que não são múltiplos entre si) e definir o terceiro como a soma (ou qualquer combinação não-trivial) desses dois. Assim teremos uma combinação linear não-trivial imediatamente.
Passo 3
Escolho vetores muito simples para facilitar as contas:
Essa escolha é intuitiva:
e
apontam ao longo dos eixos
e
, e
é a soma deles, então todos ficam no plano
. Agora vou verificar as duas condições exigidas (dependência linear e nenhum múltiplo).
Passo 4
Verificando dependência linear: calcular uma combinação não-trivial que dê o vetor zero. Note que
Os escalares
,
,
não são todos nulos, logo pelos critérios da definição acima os vetores são linearmente dependentes. Pronto: condição de dependência satisfeita.
Passo 5
Verificando que nenhum é múltiplo de outro (ou seja, não são colineares entre si):
- Para
e : se existisse tal que , teríamos . Isso exigiria , contradição. Logo não é múltiplo de . - Para
e : se existisse com , então . Pela primeira componente , mas então a segunda componente exigiria , contradição. Logo não é múltiplo de . - Para
e : se existisse com , então . Pela primeira componente obteríamos , contradição. Logo não é múltiplo de .
Portanto, nenhum par é de vetores colineares; não há um vetor que seja escalar de outro. Assim todas as exigências do enunciado foram atendidas.