1. Dê um exemplo de três vetores linearmente dependentes em \mathbb{R}^{3} tais que nenhum dos três seja múltiplo de outro.

Passo 1

O enunciado pede que eu dê um exemplo de três vetores em \mathbb{R}^{3} que sejam linearmente dependentes e, ao mesmo tempo, que nenhum dos três seja múltiplo de outro.
Informações fornecidas (que eu devo atender na resposta):
  • Devem ser exatamente três vetores em \mathbb{R}^{3}.
  • Os vetores devem ser linearmente dependentes.
  • Nenhum vetor pode ser múltiplo escalar de outro (ou seja, não pode haver dois vetores colineares entre si).

Passo 2

Vou lembrar (didaticamente) o que significa “linearmente dependentes”, porque isso é o que a prova vai cobrar na hora.
Definição: três vetores v_1,v_2,v_3\in\mathbb{R}^{3} são linearmente dependentes se existem escalares \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3, nem todos nulos, tais que
\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 v_3 = 0.
Isto quer dizer que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros dois. Para construir um exemplo simples na prova, uma estratégia comum é pegar dois vetores linearmente independentes (ou seja, que não são múltiplos entre si) e definir o terceiro como a soma (ou qualquer combinação não-trivial) desses dois. Assim teremos uma combinação linear não-trivial imediatamente.

Passo 3

Escolho vetores muito simples para facilitar as contas:
v_1 = (1,0,0),\qquad v_2 = (0,1,0),\qquad v_3 = (1,1,0).
Essa escolha é intuitiva: v_1 e v_2 apontam ao longo dos eixos x e y, e v_3 é a soma deles, então todos ficam no plano z=0. Agora vou verificar as duas condições exigidas (dependência linear e nenhum múltiplo).

Passo 4

Verificando dependência linear: calcular uma combinação não-trivial que dê o vetor zero. Note que
1\cdot v_1 + 1\cdot v_2 -1\cdot v_3 = (1,0,0) + (0,1,0) - (1,1,0) = (0,0,0).
Os escalares \alpha_1=1, \alpha_2=1, \alpha_3=-1 não são todos nulos, logo pelos critérios da definição acima os vetores são linearmente dependentes. Pronto: condição de dependência satisfeita.

Passo 5

Verificando que nenhum é múltiplo de outro (ou seja, não são colineares entre si):
  • Para v_1 e v_2: se existisse k tal que v_2 = k v_1, teríamos (0,1,0) = k(1,0,0) = (k,0,0). Isso exigiria 1=0, contradição. Logo v_2 não é múltiplo de v_1.
  • Para v_1 e v_3: se existisse k com v_3 = k v_1, então (1,1,0)=k(1,0,0)=(k,0,0). Pela primeira componente k=1, mas então a segunda componente exigiria 1=0, contradição. Logo v_3 não é múltiplo de v_1.
  • Para v_2 e v_3: se existisse k com v_3 = k v_2, então (1,1,0)=k(0,1,0)=(0,k,0). Pela primeira componente obteríamos 1=0, contradição. Logo v_3 não é múltiplo de v_2.
Portanto, nenhum par é de vetores colineares; não há um vetor que seja escalar de outro. Assim todas as exigências do enunciado foram atendidas.

Resposta

(1,0,0),\; (0,1,0),\; (1,1,0)