Exerćcio 2:
Determine
se
;
Determine
Passo 1
O enunciado pede para determinar
, que é a transformada de Laplace da função temporal dada
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função é
multiplicada pelo degrau unitário . - O degrau
anula a função para e liga a partir de .
A meta é calcular.
Passo 2
Relembrando a definição da transformada de Laplace: para uma função
(assumida de crescimento adequado),
Aqui
é a variável complexa da transformada; a integral converge quando a parte real de
está numa região apropriada (veremos qual).
Passo 3
Teorema do deslocamento no tempo (segunda propriedade de deslocamento): se uma função pode ser escrita como
com
, então a transformada é
onde
.
Explicação rápida: a presença de faz a integral começar em
; trocando variável
aparece o fator
e sobra a transformada de
com
.
Explicação rápida: a presença de
Passo 4
Vamos pôr
na forma
. Defina
. Então
então, para
(ou seja,
),
Reescrevendo em termos de
:
Portanto podemos identificar
e um fator constante
multiplicando.
Passo 5
Aplicando o teorema do deslocamento no tempo visto no Passo 3: a transformada de
é
vezes a transformada de
. Assim
Calculamos
diretamente pela definição:
desde que
, isto é,
.
Passo 6
Substituindo no resultado do Passo 5 obtemos
Podemos também escrever os expoentes juntos como
, caso prefira.
Passo 7
Observação prática para prova: outra via é aplicar a definição direta e integrar de
a
:
fazer a soma dos expoentes e trocar variável
; chega-se ao mesmo resultado mostrado acima. A técnica do Passo 3 (deslocamento no tempo) é mais rápida e evita integrações longas.