Exerćcio 2:
Determine V(s) se v(t)=20 e^{-500(t-10)} u(t-12);

Passo 1

O enunciado pede para determinar V(s), que é a transformada de Laplace da função temporal dada
v(t)=20\,e^{-500(t-10)}\,u(t-12).
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função é v(t)=20\,e^{-500(t-10)} multiplicada pelo degrau unitário u(t-12).
  • O degrau u(t-12) anula a função para t<12 e liga a partir de t=12.
    A meta é calcular V(s)=\mathcal{L}\{v(t)\}.

Passo 2

Relembrando a definição da transformada de Laplace: para uma função v(t) (assumida de crescimento adequado),
V(s)=\mathcal{L}\{v(t)\}=\int_{0}^{\infty} v(t)\,e^{-s t}\,dt.
Aqui s é a variável complexa da transformada; a integral converge quando a parte real de s está numa região apropriada (veremos qual).

Passo 3

Teorema do deslocamento no tempo (segunda propriedade de deslocamento): se uma função pode ser escrita como
f(t)=g(t-a)\,u(t-a)
com a>0, então a transformada é
\mathcal{L}\{f(t)\}=e^{-a s}\,G(s),
onde G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}=\int_{0}^{\infty} g(t)\,e^{-s t}\,dt.
Explicação rápida: a presença de u(t-a) faz a integral começar em t=a; trocando variável \tau=t-a aparece o fator e^{-a s} e sobra a transformada de g(\tau) com \tau\ge0.

Passo 4

Vamos pôr v(t) na forma g(t-12)\,u(t-12). Defina \tau=t-12. Então
t-10=\tau+2,
então, para t\ge12 (ou seja, \tau\ge0),
v(t)=20\,e^{-500(\tau+2)}\,u(\tau)=20\,e^{-1000}\,e^{-500\tau}\,u(\tau).
Reescrevendo em termos de t:
v(t)=20\,e^{-1000}\,\bigl(e^{-500(t-12)}\bigr)\,u(t-12).
Portanto podemos identificar g(t)=e^{-500 t} e um fator constante 20\,e^{-1000} multiplicando.

Passo 5

Aplicando o teorema do deslocamento no tempo visto no Passo 3: a transformada de e^{-500(t-12)}u(t-12) é e^{-12 s} vezes a transformada de e^{-500 t}. Assim
V(s)=20\,e^{-1000}\,e^{-12 s}\,\mathcal{L}\{e^{-500 t}\}.
Calculamos \mathcal{L}\{e^{-500 t}\} diretamente pela definição:
\mathcal{L}\{e^{-500 t}\}=\int_{0}^{\infty} e^{-500 t}\,e^{-s t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s+500)t}\,dt=\frac{1}{s+500},
desde que \Re(s+500)>0, isto é, \Re(s)>-500.

Passo 6

Substituindo no resultado do Passo 5 obtemos
V(s)=20\,e^{-1000}\,e^{-12 s}\,\frac{1}{s+500}=\frac{20\,e^{-1000}\,e^{-12 s}}{s+500}.
Podemos também escrever os expoentes juntos como e^{-12 s-1000}, caso prefira.

Passo 7

Observação prática para prova: outra via é aplicar a definição direta e integrar de t=12 a \infty:
V(s)=\int_{12}^{\infty}20\,e^{-500(t-10)}\,e^{-s t}\,dt,
fazer a soma dos expoentes e trocar variável \tau=t-12; chega-se ao mesmo resultado mostrado acima. A técnica do Passo 3 (deslocamento no tempo) é mais rápida e evita integrações longas.

Resposta

V(s)=\frac{20\,e^{-1000}\,e^{-12 s}}{s+500}

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