Exercicio 01. Para a função
, calcule: (a) a variação da função
no intervalo
; (b) mostre que a variação da função calculada na letra (a) é equivalente à integral da derivada da função
no mesmo intervalo isto é,
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Calcular a variação
no intervalo com e . - (b) Mostrar que essa variação é igual à integral da derivada no mesmo intervalo, ou seja, mostrar que
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de
e os valores
e
.
Passo 2
Primeiro vamos calcular
. Substituindo
em
:
Calcule passo a passo:
Portanto
Colocando em denominador comum
:
Passo 3
Agora calculamos
. Substituindo
:
Calcule passo a passo:
Portanto
Colocando em denominador comum
:
Passo 4
Agora a variação
. Substituindo os resultados:
Fazendo a subtração:
Esse é o resultado do item (a).
Passo 5
Para o item (b) precisamos da derivada
. Vamos derivar termo a termo usando a regra da potência:
.
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Logo
Passo 6
Vou lembrar aqui, de forma breve e intuitiva, o que diz o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2), que é a ferramenta que vamos usar: se
é diferenciável (portanto contínua) em um intervalo e
é contínua em
, então
Intuitivamente: a derivada
é a taxa de variação de
; integrar essas taxas ao longo do intervalo dá a variação total de
entre as extremidades. No nosso caso
é um polinômio (sempre diferenciável e com derivada contínua), portanto as condições do teorema valem.
Passo 7
Vamos calcular explicitamente a integral
Calcule uma primitiva (antiderivada) de
. Usando a regra inversa da potência:
Portanto uma primitiva é
Observe que
é exatamente
(bom sinal!). Agora aplicamos a fórmula da integral definida:
Nos Passos 2–4 já calculamos
, então
Isso mostra explicitamente que a variação calculada em (a) é igual à integral da derivada no mesmo intervalo.
Passo 8
Conclusão explicada de forma amigável: para polinômios (como o nosso
) a derivada existe e é contínua; o Teorema Fundamental do Cálculo garante que integrar a derivada entre dois pontos retorna a diferença dos valores da função nesses pontos. Fizemos as contas e confirmou-se que
e que isso é igual a
. Boa! Isso é exatamente o que costuma cair em prova: calcular variação diretamente e via integral da derivada — sempre espere que as duas davam o mesmo resultado quando as hipóteses do teorema são satisfeitas.
Resposta
(a)
(b)
(b)