Exercicio 01. Para a função f(x)=2 x^{2}-\frac{2}{3} x^{3}, calcule: (a) a variação da função \Delta f(x)=f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right) no intervalo x_{1}=2, x_{2}=4; (b) mostre que a variação da função calculada na letra (a) é equivalente à integral da derivada da função f^{\prime}(x) no mesmo intervalo isto é, \Delta f(x)=\int_{x=2}^{x_{x}=4} f^{\prime}(x) d x.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=2x^{2}-\dfrac{2}{3}x^{3} e pede duas coisas:
  • (a) Calcular a variação \Delta f(x)=f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right) no intervalo com x_{1}=2 e x_{2}=4.
  • (b) Mostrar que essa variação é igual à integral da derivada no mesmo intervalo, ou seja, mostrar que
\Delta f(x)=\int_{2}^{4} f'(x)\,dx.
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de f(x) e os valores x_{1}=2 e x_{2}=4.

Passo 2

Primeiro vamos calcular f(2). Substituindo x=2 em f(x)=2x^{2}-\dfrac{2}{3}x^{3}:
f(2)=2\cdot 2^{2}-\dfrac{2}{3}\cdot 2^{3}.
Calcule passo a passo:
2^{2}=4\quad\Rightarrow\quad 2\cdot 4=8,
2^{3}=8\quad\Rightarrow\quad \dfrac{2}{3}\cdot 8=\dfrac{16}{3}.
Portanto
f(2)=8-\dfrac{16}{3}.
Colocando em denominador comum 3:
8=\dfrac{24}{3}\quad\Rightarrow\quad f(2)=\dfrac{24}{3}-\dfrac{16}{3}=\dfrac{8}{3}.

Passo 3

Agora calculamos f(4). Substituindo x=4:
f(4)=2\cdot 4^{2}-\dfrac{2}{3}\cdot 4^{3}.
Calcule passo a passo:
4^{2}=16\quad\Rightarrow\quad 2\cdot 16=32,
4^{3}=64\quad\Rightarrow\quad \dfrac{2}{3}\cdot 64=\dfrac{128}{3}.
Portanto
f(4)=32-\dfrac{128}{3}.
Colocando em denominador comum 3:
32=\dfrac{96}{3}\quad\Rightarrow\quad f(4)=\dfrac{96}{3}-\dfrac{128}{3}=-\dfrac{32}{3}.

Passo 4

Agora a variação \Delta f(x)=f(4)-f(2). Substituindo os resultados:
\Delta f(x)=\left(-\dfrac{32}{3}\right)-\left(\dfrac{8}{3}\right).
Fazendo a subtração:
\Delta f(x)=-\dfrac{32}{3}-\dfrac{8}{3}=-\dfrac{40}{3}.
Esse é o resultado do item (a).

Passo 5

Para o item (b) precisamos da derivada f'(x). Vamos derivar termo a termo usando a regra da potência: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{\,n-1}.
  • Derivada de 2x^{2} é 2\cdot 2x^{1}=4x.
  • Derivada de -\dfrac{2}{3}x^{3} é -\dfrac{2}{3}\cdot 3x^{2}=-2x^{2}.
    Logo
f'(x)=4x-2x^{2}.

Passo 6

Vou lembrar aqui, de forma breve e intuitiva, o que diz o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2), que é a ferramenta que vamos usar: se f é diferenciável (portanto contínua) em um intervalo e f' é contínua em [a,b], então
\int_{a}^{b} f'(x)\,dx = f(b)-f(a).
Intuitivamente: a derivada f'(x) é a taxa de variação de f; integrar essas taxas ao longo do intervalo dá a variação total de f entre as extremidades. No nosso caso f é um polinômio (sempre diferenciável e com derivada contínua), portanto as condições do teorema valem.

Passo 7

Vamos calcular explicitamente a integral
\int_{2}^{4} f'(x)\,dx = \int_{2}^{4} \left(4x-2x^{2}\right)\,dx.
Calcule uma primitiva (antiderivada) de 4x-2x^{2}. Usando a regra inversa da potência:
\int 4x\,dx = 4\cdot \dfrac{x^{2}}{2}=2x^{2},
\int -2x^{2}\,dx = -2\cdot \dfrac{x^{3}}{3}=-\dfrac{2}{3}x^{3}.
Portanto uma primitiva é
F(x)=2x^{2}-\dfrac{2}{3}x^{3}.
Observe que F(x) é exatamente f(x) (bom sinal!). Agora aplicamos a fórmula da integral definida:
\int_{2}^{4} f'(x)\,dx = F(4)-F(2) = f(4)-f(2).
Nos Passos 2–4 já calculamos f(4)-f(2)=-\dfrac{40}{3}, então
\int_{2}^{4} f'(x)\,dx = -\dfrac{40}{3}.
Isso mostra explicitamente que a variação calculada em (a) é igual à integral da derivada no mesmo intervalo.

Passo 8

Conclusão explicada de forma amigável: para polinômios (como o nosso f) a derivada existe e é contínua; o Teorema Fundamental do Cálculo garante que integrar a derivada entre dois pontos retorna a diferença dos valores da função nesses pontos. Fizemos as contas e confirmou-se que \Delta f(x)=-\dfrac{40}{3} e que isso é igual a \int_{2}^{4} f'(x)\,dx. Boa! Isso é exatamente o que costuma cair em prova: calcular variação diretamente e via integral da derivada — sempre espere que as duas davam o mesmo resultado quando as hipóteses do teorema são satisfeitas.

Resposta

(a) \Delta f(x)=-\dfrac{40}{3}
(b) \displaystyle \Delta f(x)=\int_{2}^{4} f'(x)\,dx=-\dfrac{40}{3}

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