Exercicio 03 Para um gás ideal, qual são as derivadas parciais do volume em relação à temperatura e à pressão?

Passo 1

O enunciado pergunta, para um gás ideal, quais são as derivadas parciais do volume em relação à temperatura e em relação à pressão. As informações relevantes que temos (ou assumimos) são:
  • A relação que define o comportamento do gás ideal: \,P V = n R T\,.
  • As variáveis envolvidas: pressão \,P\,, volume \,V\,, temperatura \,T\,.
  • As constantes que aparecem: número de mols \,n\, e a constante dos gases \,R\,.
    O pedido é: calcular
  • \displaystyle\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P} (derivada parcial de V em relação a T mantendo P constante);
  • \displaystyle\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{T} (derivada parcial de V em relação a P mantendo T constante).

Passo 2

Reescrever a equação do gás ideal isolando V para facilitar a diferenciação. A lei do gás ideal é
P V = n R T.
Isolando V obtemos
V = \frac{n R T}{P}.
Aqui cada símbolo significa:
  • \,V\,: volume do gás (unidade SI: \mathrm{m^{3}}),
  • \,T\,: temperatura absoluta (unidade SI: \mathrm{K}),
  • \,P\,: pressão (unidade SI: \mathrm{Pa}),
  • \,n\,: número de mols (unidade: \mathrm{mol}),
  • \,R\,: constante universal dos gases ( R\approx 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}).

Passo 3

Entender o que significa derivada parcial neste contexto. A derivada parcial \left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_{P} significa: variar T e ver como V muda, mantendo P fixo (ou seja, tratando P como constante). Já \left(\dfrac{\partial V}{\partial P}\right)_{T} significa variar P e ver como V muda mantendo T fixo (tratando T como constante).

Passo 4

Calcular \displaystyle\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}. Partindo de
V = \frac{n R T}{P},
ao derivar em relação a T mantendo P constante, n, R e P são constantes. A derivada é então
\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P} = \frac{n R}{P}.
Interpretação: para pressão fixa, o volume cresce linearmente com a temperatura; a razão de crescimento por unidade de temperatura é nR/P. Unidade: \mathrm{m^{3}\,K^{-1}}.

Passo 5

Calcular \displaystyle\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{T}. Usando novamente
V = n R T \cdot P^{-1},
derivando em relação a P com T constante (então n, R, T constantes) aplica-se a regra da potência:
\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{T} = n R T \cdot (-1) P^{-2} = -\frac{n R T}{P^{2}}.
Podemos também escrever isso em termos de V observando que V = \dfrac{n R T}{P}, logo
\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{T} = -\frac{V}{P}.
Interpretação: mantendo T fixo, aumentar P reduz V; o sinal negativo mostra essa relação inversa. Unidade: \mathrm{m^{3}\,Pa^{-1}}.

Passo 6

Exemplo numérico rápido (para fixar): para n=1\\ \mathrm{mol}, T=300\\ \mathrm{K}, P=10^{5}\\ \mathrm{Pa},
\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}=\frac{1\cdot 8{,}314}{10^{5}}\approx 8{,}314\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}\,K^{-1}},
\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{T}=-\frac{1\cdot 8{,}314\cdot 300}{(10^{5})^{2}}\approx -2{,}49\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{3}\,Pa^{-1}}.
Significado prático: a 1 mol e 1 atm, um aumento de 1\\ \mathrm{K} (à P constante) aumenta V em cerca de 8{,}3\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}}; um aumento de 1\\ \mathrm{Pa} (à T constante) diminui V em cerca de 2{,}5\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{3}}.

Resposta

\displaystyle\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}=\frac{nR}{P}
\displaystyle\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{T}=-\frac{nR T}{P^{2}}=-\frac{V}{P}

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