Exercicio 03 Para um gás ideal, qual são as derivadas parciais do volume em relação à temperatura e à pressão?
Passo 1
O enunciado pergunta, para um gás ideal, quais são as derivadas parciais do volume em relação à temperatura e em relação à pressão. As informações relevantes que temos (ou assumimos) são:
- A relação que define o comportamento do gás ideal:
. - As variáveis envolvidas: pressão
, volume , temperatura . - As constantes que aparecem: número de mols
e a constante dos gases .
O pedido é: calcular -
(derivada parcial de em relação a mantendo constante); -
(derivada parcial de em relação a mantendo constante).
Passo 2
Reescrever a equação do gás ideal isolando
para facilitar a diferenciação. A lei do gás ideal é
Isolando
obtemos
Aqui cada símbolo significa:
-
: volume do gás (unidade SI: ), -
: temperatura absoluta (unidade SI: ), -
: pressão (unidade SI: ), -
: número de mols (unidade: ), -
: constante universal dos gases ( ).
Passo 3
Entender o que significa derivada parcial neste contexto. A derivada parcial
significa: variar
e ver como
muda, mantendo
fixo (ou seja, tratando
como constante). Já
significa variar
e ver como
muda mantendo
fixo (tratando
como constante).
Passo 4
Calcular
. Partindo de
ao derivar em relação a
mantendo
constante,
,
e
são constantes. A derivada é então
Interpretação: para pressão fixa, o volume cresce linearmente com a temperatura; a razão de crescimento por unidade de temperatura é
. Unidade:
.
Passo 5
Calcular
. Usando novamente
derivando em relação a
com
constante (então
,
,
constantes) aplica-se a regra da potência:
Podemos também escrever isso em termos de
observando que
, logo
Interpretação: mantendo
fixo, aumentar
reduz
; o sinal negativo mostra essa relação inversa. Unidade:
.
Passo 6
Exemplo numérico rápido (para fixar): para
,
,
,
Significado prático: a 1 mol e 1 atm, um aumento de
(à P constante) aumenta
em cerca de
; um aumento de
(à T constante) diminui
em cerca de
.