Um tanque de 300,0 \mathrm{~m}^{3} contém uma mistura líquido-vapor em equilíbrio a 1,0 \mathrm{MPa} com um título de 70,0 \%. Se a temperatura sobe até 350,0^{\circ} \mathrm{C}, que massa de vapor poderá ser extraída para que a pressão não mude.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara (vou listar tudo certinho):
  • Volume do tanque: V=300{,}0\\ \mathrm{m}^3.
  • Pressão inicial (e mantida): P=1{,}0\\ \mathrm{MPa}.
  • Título (qualidade) inicial: x_1=70{,}0\% (ou seja \,x_1=0{,}700).
  • A temperatura é elevada até T_2=350{,}0\,^\circ\mathrm{C}.
  • Pergunta: qual massa de vapor poderá ser extraída do tanque para que a pressão permaneça 1{,}0\\ \mathrm{MPa} quando a temperatura atingir 350{,}0\,^\circ\mathrm{C}?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos):
  • Em uma mistura saturada líquido–vapor, o título x é a fração mássica de vapor:
x=\frac{m_g}{m}\,,
onde m_g é a massa de vapor e m a massa total (vapor + líquido).
  • O volume específico médio da mistura é
v=(1-x)\,v_f + x\,v_g,
onde v_f é o volume específico do líquido saturado e v_g o do vapor saturado, ambos à pressão de interesse.
  • A massa total no tanque é
m=\frac{V}{v}.
  • Se, no estado final, só existir vapor superaquecido (porque T_2 é maior que a temperatura de saturação àquela pressão), o vapor pode ser aproximado pela equação dos gases ideais:
v_2=\frac{R\,T_2}{P},
onde R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} é a constante do vapor d’água, T_2 em kelvin e P em kPa (a unidade de R implica v em \mathrm{m}^3/\mathrm{kg} se P estiver em kPa).
  • Vou pegar nas tabelas de vapor saturado (aos 1{,}0\\ \mathrm{MPa}) os valores:
    • v_f(1{,}0\\ \mathrm{MPa})=0{,}001127\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg},
    • v_g(1{,}0\\ \mathrm{MPa})=0{,}1944\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
      (Estes números foram obtidos das tabelas de vapor saturado à pressão indicada.)

Passo 3

Calcular o volume específico inicial da mistura e a massa total inicial:
  • Primeiro o volume específico da mistura à pressão 1{,}0\\ \mathrm{MPa}:
v_1=(1-x_1)v_f + x_1 v_g
v_1=(1-0{,}700)\cdot 0{,}001127 + 0{,}700\cdot 0{,}1944
v_1=0{,}3\cdot 0{,}001127 + 0{,}7\cdot 0{,}1944
v_1=0{,}0003381 + 0{,}13608 = 0{,}1364181\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
  • Massa total inicial m_1:
m_1=\frac{V}{v_1}=\frac{300{,}0}{0{,}1364181}\\ \mathrm{kg}\approx 2199{,}0\\ \mathrm{kg}.
(Interpretação: no início há cerca de 2199{,}0 kg totais no tanque; a fração de vapor inicial é x_1\cdot m_1\approx 0{,}7\cdot2199{,}0\approx1539{,}3\\ \mathrm{kg}.)

Passo 4

Determinar o estado final do fluido ao aquecer até 350{,}0\,^\circ\mathrm{C} à pressão 1{,}0\\ \mathrm{MPa}.
  • A temperatura de saturação à pressão 1{,}0\\ \mathrm{MPa} é \,T_\mathrm{sat}\approx 179{,}9\,^\circ\mathrm{C} (valor das tabelas). Como T_2=350{,}0\,^\circ\mathrm{C}>T_\mathrm{sat}, o fluido final só pode ser vapor superaquecido (não existe líquido àquela temperatura e pressão).
  • Logo, no estado final todo o fluido presente no tanque será vapor superaquecido. Precisamos do volume específico do vapor a P=1{,}0\\ \mathrm{MPa} e T=350{,}0\,^\circ\mathrm{C}. Vou aproximar o vapor por gás ideal (uma aproximação comum e razoável para vapor superaquecido a essas condições):
    • Converter T_2 para kelvin: T_2=350{,}0+273{,}15=623{,}15\\ \mathrm{K}.
    • Converter P para kPa: P=1{,}0\\ \mathrm{MPa}=1000\\ \mathrm{kPa}.
    • Aplicar v_2=\dfrac{R\,T_2}{P} com R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}:
v_2=\frac{0{,}4615\cdot 623{,}15}{1000}=0{,}287584\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}\\ (\text{aprox.}).

Passo 5

Calcular a massa final no tanque e a massa de vapor que precisa ser extraída:
  • Massa final m_2 (todo vapor superaquecido ocupando V):
m_2=\frac{V}{v_2}=\frac{300{,}0}{0{,}287584}\\ \mathrm{kg}\approx 1043{,}2\\ \mathrm{kg}.
  • Portanto a massa que deve ser extraída do tanque (todo o que sair será vapor) para que, ao aquecer, a pressão não aumente é
m_{\text{extraída}}=m_1-m_2\approx 2199{,}0-1043{,}2=1155{,}8\\ \mathrm{kg}.í

Passo 6

Comentários finais e suposições (rápido e prático):
  • Foi assumido que o vapor superaquecido pode ser tratado pela equação dos gases ideais; isso é aceitável para estimativas e dá resultado muito próximo ao que se obteria usando tabelas de vapor superaquecido detalhadas.
  • Conclusão prática: é preciso extrair aproximadamente 1{,}16\times 10^{3}\\ \mathrm{kg} de vapor ao longo do aquecimento para manter P=1{,}0\\ \mathrm{MPa}.
  • Força aí — esse tipo de conta é só seguir a receita: usar qualidade para achar massa inicial e usar v=RT/P (ou tabela superaquece) para achar massa final.

Resposta

m_{\text{extraída}}\approx 1{,}156\times 10^{3}\\ \mathrm{kg}í

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