Exercício 02: Mostrar que as seguintes proposições são contingentes:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a proposição
é contingente.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A fórmula a analisar é
. - Não há outras restrições: assume-se que
e são proposições simples que podem ser verdadeiras ( ) ou falsas ( ).
A tarefa é provar que a fórmula não é tautologia nem contradição — ou seja, que ela é verdadeira em algumas valorações dee falsa em outras.
Passo 2
Explicar as conectivas usadas (com exemplos simples e a regra de verdade):
- Disjunção:
é verdadeira quando pelo menos uma das proposições ou é verdadeira; é falsa somente se ambas forem falsas. - Conjunção:
é verdadeira somente quando ambas e forem verdadeiras; caso contrário é falsa. - Implicação material:
é falsa somente quando é verdadeira e é falsa; em todos os outros casos é verdadeira. Isso é importante e costuma confundir — a implicação é considerada verdadeira se o antecedente for falso, independentemente do consequente.
Passo 3
Explicar o que significa “contingente” de forma precisa:
- Uma fórmula é tautologia se é verdadeira para todas as valorações de suas proposições atômicas.
- É contradição se é falsa para todas as valorações.
- É contingente se existe pelo menos uma valoração que a torna verdadeira e pelo menos uma que a torne falsa.
Logo, para mostrar contingência basta achar uma valoração que dáe outra que dá .
Passo 4
Avaliar a fórmula em cada valoração possível de
e
. Vou listar as quatro combinações possíveis e calcular passo a passo as subfórmulas
e
, depois a implicação.
-
Caso 1:
. -
(porque pelo menos uma é verdadeira). -
(porque as duas são verdadeiras). -
.
-
-
Caso 2:
. -
(pelo menos uma verdadeira). -
(nem todas verdadeiras). -
(implicação falsa só quando antecedente T e consequente F).
-
-
Caso 3:
. -
. -
. -
.
-
-
Caso 4:
. -
. -
. -
(implicação com antecedente falso é verdadeira).
-
Passo 5
Conclusão a partir da tabela de valores: nas quatro valorações obtivemos os valores finais (em ordem):
. Ou seja, a fórmula vale
em algumas valorações (por exemplo
ou
) e vale
em outras (por exemplo
). Isso mostra exatamente que a fórmula não é nem tautologia nem contradição.
Passo 6
Uma observação didática extra (opcional, mas útil para entender a estrutura): transformar a fórmula usando equivalências lógicas para ver sua forma canônica:
Pela Lei de De Morgan
, então
Essa fórmula é verdadeira exatamente quando
e
têm o mesmo valor (ambas verdadeiras ou ambas falsas), que é precisamente o mesmo comportamento da bicondicional
. Isso explica por que achamos
nas valorações
e
e
quando os valores diferem.
Passo 7
Portanto, com a tabela de verdade (Passo 4) já está demonstrado que a fórmula assume valores verdadeiros e falsos dependendo da valoração; isso caracteriza a contingência. Força aí — essa manipulação com tabela e equivalências é exatamente o que você precisa treinar para a prova!