Exercício 02: Mostrar que as seguintes proposições são contingentes:
p \vee q \rightarrow p \wedge q

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a proposição (p \vee q) \rightarrow (p \wedge q) é contingente.
Informações dadas:
  • A fórmula a analisar é (p \vee q) \rightarrow (p \wedge q).
  • Não há outras restrições: assume-se que p e q são proposições simples que podem ser verdadeiras ( T) ou falsas ( F).
    A tarefa é provar que a fórmula não é tautologia nem contradição — ou seja, que ela é verdadeira em algumas valorações de p,q e falsa em outras.

Passo 2

Explicar as conectivas usadas (com exemplos simples e a regra de verdade):
  • Disjunção: \,A\vee B é verdadeira quando pelo menos uma das proposições A ou B é verdadeira; é falsa somente se ambas forem falsas.
  • Conjunção: \,A\wedge B é verdadeira somente quando ambas A e B forem verdadeiras; caso contrário é falsa.
  • Implicação material: \,A\rightarrow B é falsa somente quando A é verdadeira e B é falsa; em todos os outros casos é verdadeira. Isso é importante e costuma confundir — a implicação é considerada verdadeira se o antecedente for falso, independentemente do consequente.

Passo 3

Explicar o que significa “contingente” de forma precisa:
  • Uma fórmula é tautologia se é verdadeira para todas as valorações de suas proposições atômicas.
  • É contradição se é falsa para todas as valorações.
  • É contingente se existe pelo menos uma valoração que a torna verdadeira e pelo menos uma que a torne falsa.
    Logo, para mostrar contingência basta achar uma valoração que dá T e outra que dá F.

Passo 4

Avaliar a fórmula em cada valoração possível de p e q. Vou listar as quatro combinações possíveis e calcular passo a passo as subfórmulas \,p\vee q e \,p\wedge q, depois a implicação.
  • Caso 1: p=T,\; q=T.
    • \,p\vee q = T (porque pelo menos uma é verdadeira).
    • \,p\wedge q = T (porque as duas são verdadeiras).
    • (p\vee q)\rightarrow(p\wedge q) = T\rightarrow T = T.
  • Caso 2: p=T,\; q=F.
    • \,p\vee q = T (pelo menos uma verdadeira).
    • \,p\wedge q = F (nem todas verdadeiras).
    • (p\vee q)\rightarrow(p\wedge q) = T\rightarrow F = F (implicação falsa só quando antecedente T e consequente F).
  • Caso 3: p=F,\; q=T.
    • \,p\vee q = T.
    • \,p\wedge q = F.
    • (p\vee q)\rightarrow(p\wedge q) = T\rightarrow F = F.
  • Caso 4: p=F,\; q=F.
    • \,p\vee q = F.
    • \,p\wedge q = F.
    • (p\vee q)\rightarrow(p\wedge q) = F\rightarrow F = T (implicação com antecedente falso é verdadeira).

Passo 5

Conclusão a partir da tabela de valores: nas quatro valorações obtivemos os valores finais (em ordem): T,\;F,\;F,\;T. Ou seja, a fórmula vale T em algumas valorações (por exemplo p=T,q=T ou p=F,q=F) e vale F em outras (por exemplo p=T,q=F). Isso mostra exatamente que a fórmula não é nem tautologia nem contradição.

Passo 6

Uma observação didática extra (opcional, mas útil para entender a estrutura): transformar a fórmula usando equivalências lógicas para ver sua forma canônica:
(p\vee q)\rightarrow(p\wedge q)\equiv \neg(p\vee q)\vee(p\wedge q).
Pela Lei de De Morgan \neg(p\vee q)\equiv \neg p\wedge \neg q, então
\neg(p\vee q)\vee(p\wedge q)\equiv (\neg p\wedge\neg q)\vee(p\wedge q).
Essa fórmula é verdadeira exatamente quando p e q têm o mesmo valor (ambas verdadeiras ou ambas falsas), que é precisamente o mesmo comportamento da bicondicional p\leftrightarrow q. Isso explica por que achamos T nas valorações T,T e F,F e F quando os valores diferem.

Passo 7

Portanto, com a tabela de verdade (Passo 4) já está demonstrado que a fórmula assume valores verdadeiros e falsos dependendo da valoração; isso caracteriza a contingência. Força aí — essa manipulação com tabela e equivalências é exatamente o que você precisa treinar para a prova!

Resposta

(p \vee q) \rightarrow (p \wedge q) é contingente.