e pede a solução geral X(t). As informações relevantes são: a matriz A é 2\times2 e o sistema é autônomo e homogêneo (sem termo forçante). O objetivo é encontrar a família de soluções X(t) dependente de constantes arbitrárias, ou seja, a solução geral.]
Passo 2
Estratégia teórica (aula rápida): para resolver \dot{X}=A X quando A é uma matriz constante, o método usual é procurar autovalores \lambda e autovetores v de A. Se \lambda é autovalor com autovetor não-nulo v, então X(t)=e^{\lambda t}v é uma solução do sistema. Para o caso 2\times2, se existirem dois autovetores linearmente independentes v_1,v_2 associados a autovalores (podem ser iguais ou diferentes), a solução geral é combinação linear
ou seja y=-4x. Tomando x=1 obtemos um autovetor conveniente
v_{2}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-4\end{pmatrix}.
Os vetores v_1 e v_2 são linearmente independentes (verificável porque não são múltiplos um do outro), portanto geram a solução geral conforme a teoria.]
Passo 6
Montar a solução geral pelo princípio dos autovetores: cada autovetor gera a solução exponencial associada. Assim
onde C_{1},C_{2}\in\mathbb{R} são constantes determinadas por condições iniciais, se houver.]
Passo 7
Verificação rápida (aprender a checar na prova): derivando X(t) e multiplicando por A deve dar o mesmo resultado. Por exemplo para a primeira parcela X_1(t)=e^{2t}v_1 tem \dot{X}_1(t)=2e^{2t}v_1 e A X_1(t)=A(e^{2t}v_1)=e^{2t}A v_1=e^{2t}\lambda_1 v_1=2e^{2t}v_1, portanto essa parcela satisfaz a equação. O mesmo vale para a segunda parcela com \lambda_2=-3. Como o sistema é linear e homogêneo, a soma ponderada também é solução. Isso confirma que a expressão do Passo 6 está correta.