EXERCÍCIO 04 - Projeto de Boost em CCM (intermediário)
Projete um conversor Boost que forneça uma tensão de saída de \mathrm{Vo}=30 \mathrm{~V} a partir de uma fonte de entrada de Vi =12 \mathrm{~V}. O conversor deve:
  • Operar em modo de condução contínua (CCM).
  • Apresentar tensão de ondulação na saída menor que 1 \% de Vo.
  • Alimentar uma carga resistiva de R=50 \Omega.
  • Operar na frequência de chaveamento f=50 \mathrm{kHz}.
Assuma componentes ideais. Determine:
a) O ciclo de trabalho D (use a relação estática ideal do conversor Boost).
b) O valor mínimo da indutância Lmin para operação em CCM.
c) O valor do capacitor de saída C necessário para atender à especificação de ondulação de tensão.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado):
  • Dados:
    • Tensão de entrada: \,V_i=12\\ \mathrm{V}.
    • Tensão de saída desejada: \,V_o=30\\ \mathrm{V}.
    • Carga resistiva: \,R=50\\ \Omega.
    • Frequência de chaveamento: \,f=50\\ \mathrm{kHz}.
    • Especificação de ondulação de tensão: menor que 1\% de V_o, ou seja \Delta V_{o,\max}=0,01\cdot V_o.
    • Operação em CCM (condução contínua) — precisamos garantir isso.
    • Componentes ideais.
  • Pedidos:
    a) Determinar o ciclo de trabalho D usando a relação estática ideal do conversor boost.
    b) Determinar o valor mínimo da indutância L_{\min} para que o conversor opere em CCM.
    c) Determinar o valor do capacitor de saída C necessário para que a ondulação de tensão seja menor que 1\% de V_o.

Passo 2

Cálculo do ciclo de trabalho D (revisando a fórmula e o porquê).
  • Em regime estacionário e para conversor boost ideal em CCM vale a relação estática
V_o=\frac{V_i}{1-D}.
  • Aqui V_o é a tensão média de saída, V_i é a tensão de entrada e D é o ciclo de trabalho (fração do período em que o interruptor está ligado).
  • Isolando D:
D = 1-\frac{V_i}{V_o}.
  • Substituindo os valores dados:
D = 1-\frac{12}{30} = 1-0,4 = 0,6.
Portanto D=0,6. (Intuição: como V_o é maior que V_i, o ciclo de trabalho é maior que zero; D=0,6 significa que o transistor fica ligado 60\% do tempo.)

Passo 3

Cálculo da corrente na carga e da corrente média do indutor (passo importante para L_{\min}).
  • Corrente de saída (corrente na carga):
I_o=\frac{V_o}{R}.
  • Substituindo:
I_o=\frac{30}{50}=0,6\\ \mathrm{A}.
  • Potência de saída P_o=V_o I_o. Em conversor ideal, potência de entrada igual a potência de saída, logo a corrente média do indutor (corrente de entrada) é
I_{L,\mathrm{avg}}=I_{in}=\frac{P_o}{V_i}=\frac{V_o I_o}{V_i}=I_o\frac{V_o}{V_i}.
  • Substituindo números:
I_{L,\mathrm{avg}}=0,6\cdot\frac{30}{12}=0,6\cdot2,5=1,5\\ \mathrm{A}.
Explicação curta: o indutor fornece a corrente de entrada do conversor; para manter CCM precisamos que a corrente nunca vá a zero — daí a importância de calcular L_{\min}.

Passo 4

Derivação do Δi (ripple de corrente no indutor) e condição de limite entre CCM e DCM.
  • Durante o intervalo em que o interruptor está ligado (duração D T_s), a tensão no indutor é V_L=V_i e a corrente cresce com taxa
\frac{di}{dt}=\frac{V_i}{L}.
  • O aumento da corrente nesse intervalo é
\Delta i_{ON}=\frac{V_i}{L}\,D T_s,
onde T_s=1/f é o período de chaveamento.
  • Em regime estacionário o decréscimo durante (1-D)T_s (quando o interruptor está aberto) tem mesma magnitude, assim o ripple pico-a-pico é
\Delta I_{L}=\frac{V_i}{L}\,D T_s.
  • A condição de limite entre CCM e DCM (fronteira) é quando a corrente mínima no indutor chega a zero. A corrente mínima é
I_{L,\min}=I_{L,\mathrm{avg}}-\frac{\Delta I_L}{2}.
No limite I_{L,\min}=0, portanto \Delta I_L=2I_{L,\mathrm{avg}}.
  • Substituindo \Delta I_L na expressão acima e isolando L obtemos o valor mínimo de indutância para manter CCM:
L_{\min}=\frac{V_i\,D\,T_s}{2\,I_{L,\mathrm{avg}}}.
  • Aqui:
    • V_i é a tensão de entrada,
    • D é o ciclo de trabalho,
    • T_s=1/f é o período,
    • I_{L,\mathrm{avg}} é a corrente média do indutor calculada no passo anterior.

Passo 5

Cálculo numérico de L_{\min}.
  • Primeiro calcule T_s:
T_s=\frac{1}{f}=\frac{1}{50\,000}=20\times10^{-6}\\ \mathrm{s}=20\\ \mu\mathrm{s}.
  • Substituindo na fórmula de L_{\min}:
L_{\min}=\frac{12\cdot0,6\cdot20\times10^{-6}}{2\cdot1,5}.
  • Calcule passo a passo:
    • 12\cdot0,6=7,2.
    • 7,2\cdot20\times10^{-6}=144\times10^{-6}=1,44\times10^{-4}.
    • Dividindo por 2\cdot1,5=3
L_{\min}=\frac{1,44\times10^{-4}}{3}=4,8\times10^{-5}\\ \mathrm{H}=48\times10^{-6}\\ \mathrm{H}.
  • Portanto
L_{\min}=48\\ \mu\mathrm{H}.
Breve interpretação: abaixo desse valor de indutância a corrente do indutor chegaria a zero por parte do ciclo e o conversor sairia de CCM; escolher L um pouco maior que L_{\min} garante margem de segurança.

Passo 6

Derivação da expressão para a ondulação de tensão no capacitor e cálculo de C.
  • Intuição do comportamento do capacitor em um boost:
    • Quando o interruptor está ligado (duração D T_s), o diodo bloqueia a entrada, então a carga é alimentada apenas pelo capacitor — isto faz o capacitor descarregar um pouco.
    • A maior variação de tensão do capacitor (ondulação) ocorre justamente por esse tempo em que o capacitor precisa fornecer corrente à carga.
  • A corrente média que o capacitor precisa fornecer durante o intervalo em que o diodo está bloqueado é aproximadamente I_o (corrente da carga). Assim a carga de capacitor descarrega por uma carga \Delta Q=I_o\cdot D T_s.
  • A variação pico-a-pico de tensão na capacitores dada por \Delta V_o=\Delta Q/C, logo, aproximando,
\Delta V_o=\frac{I_o\,D\,T_s}{C}.
  • Substituindo T_s=1/f obtemos a forma prática
\Delta V_o=\frac{I_o\,D}{C\,f}.
  • Queremos \Delta V_o\le \Delta V_{o,\max}=0,01V_o. Assim o capacitor mínimo necessário satisfaz
C \ge \frac{I_o\,D}{\Delta V_{o,\max}\,f}.

Passo 7

Cálculo numérico de C.
  • Primeiro calcule \Delta V_{o,\max}:
\Delta V_{o,\max}=0,01\cdot V_o=0,01\cdot30=0,3\\ \mathrm{V}.
  • Substituindo na desigualdade para C:
C \ge \frac{0,6\cdot0,6}{0,3\cdot50\times10^{3}}.
  • Calcule passo a passo:
    • Numerador: 0,6\cdot0,6=0,36.
    • Denominador: 0,3\cdot50\times10^{3}=15\times10^{3}=15000.
    • Razão: 0,36/15000=24\times10^{-6}.
  • Portanto
C \ge 24\times10^{-6}\\ \mathrm{F}=24\\ \mu\mathrm{F}.
Comentário prático e motivador: na prática costuma-se escolher um valor comercial um pouco maior (por exemplo 33\\ \mu\mathrm{F} ou combinar capacitores) para ter margem e também considerar ESR/temperatura, mas para o projeto teórico ideal o valor mínimo é 24\\ \mu\mathrm{F}.

Resposta

a) D=0,6
b) L_{\min}=48\\ \mu\mathrm{H}
c) C\ge 24\\ \mu\mathrm{F}

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