EXERCÍCIO 02 - Buck em CCM com ondulação de corrente (básico/intermediário)
Um conversor Buck opera na frequência de \mathrm{f}=1 \mathrm{kHz}, a partir de uma fonte CC de Vi =100 \mathrm{~V}, alimentando uma carga resistiva de \mathrm{R}=10 \Omega.
A componente indutiva da carga é L=50 \mathrm{mH}.
Deseja-se obter uma tensão média de saída de \mathrm{Vo}=50 \mathrm{~V}.
Considere operação em CCM. Determine:
a) O ciclo de trabalho D.
b) O tempo de condução da chave ton.
c) A corrente média na carga lo.
d) Os valores máximo e mínimo da corrente no indutor (Imax e Imin).
e) A variação de pico a pico da corrente no indutor \Delta i L.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (tudo que segue foi extraído do enunciado).
  • Dados:
    • f=1\\ \mathrm{kHz}.
    • V_i=100\\ \mathrm{V}.
    • R=10\\ \Omega.
    • L=50\\ \mathrm{mH}.
    • Tensão média desejada V_o=50\\ \mathrm{V}.
    • Operação em CCM (corrente do indutor sempre positiva).
  • Perguntas:
    a) Determinar o ciclo de trabalho D.
    b) Determinar o tempo de condução da chave t_{\mathrm{on}}.
    c) Determinar a corrente média na carga i_o.
    d) Determinar os valores máximo e mínimo da corrente no indutor I_{\max} e I_{\min}.
    e) Determinar a variação pico-a-pico da corrente no indutor \Delta i_L.

Passo 2

Vamos encontrar o ciclo de trabalho D. Primeiro a ideia física: num conversor buck ideal em regime estacionário (média das tensões no indutor é zero em um período), vale a condição de volt-segundo (balanceamento de tensão no indutor). Durante o intervalo em que a chave está ligada, a tensão no indutor é V_{L,\text{on}}=V_i-V_o. Durante o intervalo em que a chave está desligada, a tensão no indutor é V_{L,\text{off}}=-V_o (assumindo diodo ideal). O balanceamento de volt-second exige:
D(V_i-V_o)+(1-D)(-V_o)=0.
Desenvolvendo essa equação e isolando V_o obtém-se a relação clássica do buck ideal:
V_o = D\,V_i.
Portanto D é simplesmente a razão entre V_o e V_i. Substituindo os valores dados:
D=\frac{V_o}{V_i}=\frac{50}{100}=0,5.

Passo 3

Agora calculamos o tempo de condução t_{\mathrm{on}}. Relação entre frequência e período: T=1/f. Então
T=\frac{1}{f}=\frac{1}{1\\ \mathrm{kHz}}=1\\ \mathrm{ms}=0,001\\ \mathrm{s}.
O tempo de condução é t_{\mathrm{on}}=D\cdot T. Substituindo:
t_{\mathrm{on}}=0,5\cdot 0,001\\ \mathrm{s}=0,0005\\ \mathrm{s}=0,5\\ \mathrm{ms}.

Passo 4

Determinar a corrente média na carga i_o. Para carga puramente resistiva em regime estacionário, a corrente média de saída i_o é simplesmente
i_o=\frac{V_o}{R}.
Substituindo os valores:
i_o=\frac{50\\ \mathrm{V}}{10\\ \Omega}=5\\ \mathrm{A}.
Em CCM a média da corrente do indutor coincide com a corrente da carga, portanto a corrente média do indutor também é 5\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Vamos calcular a variação pico-a-pico da corrente no indutor \Delta i_L. A regra básica é usar a relação diferencial do indutor:
v_L=L\frac{di}{dt}.
Durante o intervalo ligado ( t_{\mathrm{on}}), v_L=V_i-V_o, logo a variação de corrente ao longo de t_{\mathrm{on}} é
\Delta i_{L,\text{on}}=\frac{V_i-V_o}{L}\,t_{\mathrm{on}}.
Em regime estacionário contínuo, a variação no on é igual à variação no off em módulo, e essa variação é o pico-a-pico \Delta i_L. Primeiro convertemos L para henry:
L=50\\ \mathrm{mH}=0,05\\ \mathrm{H}.
Substituindo números:
\Delta i_L=\frac{100-50}{0,05}\cdot 0,0005.
Calculando passo a passo: 100-50=50. Então \dfrac{50}{0,05}=1000\\ \mathrm{A/s}. Multiplicando por 0,0005\\ \mathrm{s}
\Delta i_L=1000\cdot 0,0005=0,5\\ \mathrm{A}.
(Verificação alternativa: durante o off, v_L=-V_o=-50\\ \mathrm{V} e t_{\mathrm{off}}=(1-D)T=0,5\cdot 0,001=0,0005\\ \mathrm{s}. Então \Delta i_{L,\text{off}}=\dfrac{50}{0,05}\cdot 0,0005=0,5\\ \mathrm{A}, consistente.)

Passo 6

Com a corrente média e a variação pico-a-pico, encontramos os extremos da corrente do indutor. Em CCM a forma de onda do indutor é aproximadamente triangular e simétrica em torno da média I_{\mathrm{med}}=i_o=5\\ \mathrm{A}. Assim:
I_{\max}=I_{\mathrm{med}}+\frac{\Delta i_L}{2},\qquad I_{\min}=I_{\mathrm{med}}-\frac{\Delta i_L}{2}.
Substituindo os valores:
I_{\max}=5+\frac{0,5}{2}=5+0,25=5,25\\ \mathrm{A},
I_{\min}=5-0,25=4,75\\ \mathrm{A}.

Resposta

a) D=0,5
b) t_{\mathrm{on}}=0,5\\ \mathrm{ms}
c) i_o=5\\ \mathrm{A}
d) I_{\max}=5,25\\ \mathrm{A}
I_{\min}=4,75\\ \mathrm{A}
e) \Delta i_L=0,5\\ \mathrm{A}

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