Exercicio 05. Qual o diferencial total para o volume d V de um gás ideal?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Qual o diferencial total para o volume dV de um gás ideal?”
Informações dadas/assumidas (tudo que vou usar):
  • A equação do gás ideal: P V = n R T.
  • As variáveis possíveis são pressão P, temperatura T e número de mols n. A constante R é a constante universal dos gases (considerada constante).
  • Objetivo: escrever o diferencial total dV em termos dos diferenciais dP, dT e dn (ou em casos especiais, com dn=0 se n for fixo).

Passo 2

Conceito que vou usar: diferencial total.
Se uma função V depende de três variáveis independentes P, T, n, o diferencial total é
dV=\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{T,n}dP+\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P,n}dT+\left(\frac{\partial V}{\partial n}\right)_{P,T}dn.
Explicação: cada derivada parcial \partial V/\partial X mede como V muda quando apenas X muda, mantendo as outras variáveis fixas. O diferencial total soma as contribuições de todas as variações.

Passo 3

Expressar V explicitamente a partir da lei dos gases ideais para facilitar as derivadas:
V=\frac{nRT}{P}.
Isto vem de rearranjar PV=nRT isolando V.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais passo a passo:
  • Derivada parcial de V em relação a T mantendo P e n constantes:
\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P,n}=\frac{nR}{P}.
Justificativa: V=(nR/P)\,T visto como função linear em T.
  • Derivada parcial de V em relação a P mantendo T e n constantes:
\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{T,n}=\frac{\partial}{\partial P}\!\left(\frac{nRT}{P}\right)=-\frac{nRT}{P^{2}}.
Justificativa: trata-se de derivar P^{-1}, cujo derivado é -P^{-2}.
  • Derivada parcial de V em relação a n mantendo P e T constantes:
\left(\frac{\partial V}{\partial n}\right)_{P,T}=\frac{RT}{P}.
Justificativa: V=(RT/P)\,n visto como função linear em n.

Passo 5

Substituir as derivadas parciais no fórmula do diferencial total:
dV=\frac{nR}{P}\,dT-\frac{nRT}{P^{2}}\,dP+\frac{RT}{P}\,dn.
Esta é a forma geral do diferencial total do volume de um gás ideal, com P,T,n possivelmente variando.

Passo 6

Mostrar um caminho alternativo (implícito) que confirma o resultado, útil para a prova: diferenciar implicitamente P V = n R T.
Diferenciando ambos os lados obtemos
P\,dV+V\,dP=nR\,dT+R T\,dn.
Isolando dV:
dV=\frac{nR}{P}\,dT+\frac{R T}{P}\,dn-\frac{V}{P}\,dP.
Agora substituir V=\dfrac{nRT}{P} no último termo:
-\frac{V}{P}\,dP=-\frac{nRT}{P^{2}}\,dP,
o que reconduz exatamente à expressão do Passo 5. Assim as duas abordagens coincidem.

Passo 7

Casos especiais e formas úteis:
  • Se o número de mols for constante ( dn=0), a expressão simplifica para
dV=\frac{nR}{P}\,dT-\frac{nRT}{P^{2}}\,dP.
  • Forma relativa (muito prática): tomar logaritmo de V=\dfrac{nRT}{P} e diferenciar dá
\frac{dV}{V}=\frac{dn}{n}+\frac{dT}{T}-\frac{dP}{P},
válido quando as variações são pequenas (é a forma exata linearizada do diferencial relativo).
  • Exemplo numérico rápido (só para sentir a coisa): suponha n=1\\ \text{mol}, T=300\\ \text{K}, P=10^{5}\\ \text{Pa}, variações dT=1\\ \text{K} e dP=100\\ \text{Pa}, com dn=0 e R\approx8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}. Então
\frac{nR}{P}\,dT\approx\frac{1\cdot8{,}314}{10^{5}}\cdot1\approx8{,}314\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}},
\frac{nRT}{P^{2}}\,dP\approx\frac{1\cdot8{,}314\cdot300}{(10^{5})^{2}}\cdot100\approx2{,}4942\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}},
portanto dV\approx5{,}82\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}}. Isso mostra como cada termo contribui.

Resposta

dV=\frac{nR}{P}\,dT-\frac{nRT}{P^{2}}\,dP+\frac{RT}{P}\,dn
(se n for constante, dn=0, então \;dV=\dfrac{nR}{P}\,dT-\dfrac{nRT}{P^{2}}\,dP).

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