Exercicio 05. Qual o diferencial total para o volume
de um gás ideal?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Qual o diferencial total para o volume
de um gás ideal?”
Informações dadas/assumidas (tudo que vou usar):
Informações dadas/assumidas (tudo que vou usar):
- A equação do gás ideal:
. - As variáveis possíveis são pressão
, temperatura e número de mols . A constante é a constante universal dos gases (considerada constante). - Objetivo: escrever o diferencial total
em termos dos diferenciais , e (ou em casos especiais, com se for fixo).
Passo 2
Conceito que vou usar: diferencial total.
Se uma função depende de três variáveis independentes
,
,
, o diferencial total é
Se uma função
Explicação: cada derivada parcial
mede como
muda quando apenas
muda, mantendo as outras variáveis fixas. O diferencial total soma as contribuições de todas as variações.
Passo 3
Expressar
explicitamente a partir da lei dos gases ideais para facilitar as derivadas:
Isto vem de rearranjar
isolando
.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais passo a passo:
- Derivada parcial de
em relação a mantendo e constantes:
Justificativa:
visto como função linear em
.
- Derivada parcial de
em relação a mantendo e constantes:
Justificativa: trata-se de derivar
, cujo derivado é
.
- Derivada parcial de
em relação a mantendo e constantes:
Justificativa:
visto como função linear em
.
Passo 5
Substituir as derivadas parciais no fórmula do diferencial total:
Esta é a forma geral do diferencial total do volume de um gás ideal, com
possivelmente variando.
Passo 6
Mostrar um caminho alternativo (implícito) que confirma o resultado, útil para a prova: diferenciar implicitamente
.
Diferenciando ambos os lados obtemos
Diferenciando ambos os lados obtemos
Isolando
:
Agora substituir
no último termo:
o que reconduz exatamente à expressão do Passo 5. Assim as duas abordagens coincidem.
Passo 7
Casos especiais e formas úteis:
- Se o número de mols for constante (
), a expressão simplifica para
- Forma relativa (muito prática): tomar logaritmo de
e diferenciar dá
válido quando as variações são pequenas (é a forma exata linearizada do diferencial relativo).
- Exemplo numérico rápido (só para sentir a coisa): suponha
, , , variações e , com e . Então
portanto
. Isso mostra como cada termo contribui.
Resposta
(se
for constante,
, então
).