Exercício 06: Quatro quilogramas de um gás ideal está inicialmente a 25^{\circ} \mathrm{C} e 150 kPa em um recipiente rígido. Calor é adicionado até que a pressão alcance 900 kPa . Determine a variação de entropia se o gás
b) Nitrogênio.

Passo 1

O enunciado nos dá um recipiente rígido contendo m=4\\ \text{kg} de gás ideal (nitrogênio), inicialmente a 25^\circ C e P_{1}=150\\ \text{kPa}. Adiciona-se calor até que a pressão atinja P_{2}=900\\ \text{kPa}. Como o volume é constante, trata-se de um aquecimento isocórico. Para determinar a variação de entropia \Delta S, vamos usar as propriedades do gás ideal e a relação entre temperatura e pressão em processo isocórico, além da expressão de \Delta S para gás ideal de calores específicos constantes.

Passo 2

Convertendo a temperatura inicial para Kelvin e calculando a temperatura final via P/T= constante (volume fixo):
T_{1}=25^\circ C + 273{,}15 = 298{,}15\\ \text{K}.
Em isocórico vale
\frac{P_{1}}{T_{1}}=\frac{P_{2}}{T_{2}}
Logo
T_{2}=T_{1}\,\frac{P_{2}}{P_{1}} =298{,}15\cdot\frac{900}{150} =298{,}15\cdot6 =1788{,}9\\ \text{K}.

Passo 3

Obtemos as propriedades do nitrogênio (tratado como gás diatômico de calores constantes):
– Massa molar M=28{,}0134\\ \text{kg/kmol}.
– Constante universal R_{u}=8{,}3145\\ \text{kJ/kmol\cdotK}.
– Constante específica
R=\frac{R_{u}}{M} =\frac{8{,}3145\\ \text{kJ/kmol\cdotK}}{28{,}0134\\ \text{kg/kmol}} =0{,}2968\\ \text{kJ/kg\cdotK} =296{,}8\\ \text{J/kg\cdotK}.
Para gás diatômico aproximamos
\displaystyle c_{p}\approx1{,}04\\ \text{kJ/kg\cdotK} e
\displaystyle c_{v}=c_{p}-R=1{,}04-0{,}2968=0{,}7432\\ \text{kJ/kg\cdotK}=743{,}2\\ \text{J/kg\cdotK}.

Passo 4

A variação de entropia de um gás ideal com calores específicos constantes é
\Delta S =m\bigl[c_{v}\ln\!\bigl(\tfrac{T_{2}}{T_{1}}\bigr) +R\ln\!\bigl(\tfrac{V_{2}}{V_{1}}\bigr)\bigr].
Como o volume é constante, \ln(V_{2}/V_{1})=0, restando
\Delta S =m\,c_{v}\ln\!\Bigl(\frac{T_{2}}{T_{1}}\Bigr).

Passo 5

Substituindo os valores numéricos:
\Delta S =4\\ \text{kg}\times743{,}2\\ \frac{\text{J}}{\text{kg\cdotK}} \times\ln\!\Bigl(\frac{1788{,}9}{298{,}15}\Bigr).
Calculando a razão de temperaturas e o logaritmo:
\displaystyle \frac{1788{,}9}{298{,}15}=6,
\ln(6)=1{,}7918.
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\Delta S =4\times743{,}2\times1{,}7918 \approx5327{,}5\\ \text{J/K}.

Resposta

\displaystyle \Delta S\approx5{,}33\times10^{3}\\ \text{J/K}.

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