Exercício 08: 2 kg de gelo a -10{ }^{\circ} \mathrm{C} são misturados em um recipiente isolado com 12 kg de água a 25^{\circ} \mathrm{C}. Estime a temperatura final da mistura e a variação de entropia líquida.

Passo 1

O enunciado diz que temos 2,kg de gelo a -10^{\circ}\mathrm{C} misturados, em recipiente isolado, com 12,kg de água a 25^{\circ}\mathrm{C}. Pedem (a) a temperatura de equilíbrio T_f e (b) a variação de entropia total \Delta S.
Conteúdo necessário: conservação de energia (calorimetria) e cálculo de entropia via \displaystyle \Delta S=\int \frac{\delta Q_\mathrm{rev}}{T}.

Passo 2

Primeiro verificamos que o equilíbrio ocorrerá com todo o gelo derretido (isto é, T_f>0\,^{\circ}\mathrm{C}). Montamos o balanço de energia:
— Ganhos do gelo:
1. aquecimento de -10 até 0\,^{\circ}\mathrm{C}:
Q_1 = m_i\,c_{\mathrm{ice}}\,(0-(-10)) = 2\cdot2100\cdot10 = 4{,}2\times10^4\\ \mathrm{J}.
2. fusão a 0\,^{\circ}\mathrm{C}:
Q_2 = m_i\,L_f = 2\cdot334\times10^3 = 6{,}68\times10^5\\ \mathrm{J}.
3. aquecimento da água de fusão de 0 até T_f:
Q_3 = m_i\,c_w\,(T_f-0) = 2\cdot4186\,T_f = 8372\,T_f\\ \mathrm{J}.
— Perda da água quente (de 25 até T_f):
Q_w = 12\cdot4186\,(T_f - 25) = 50232\,(T_f - 25)\\ \mathrm{J}.
Como não há troca com o meio,
Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_w = 0.

Passo 3

Substituindo os valores:
4{,}2\times10^4 + 6{,}68\times10^5 + 8372\,T_f + 50232\,(T_f - 25) = 0,
4{,}2\times10^4 + 6{,}68\times10^5 -1{,}255{,}800 + (8372+50232)\,T_f =0,
5{,}458\times10^5 + 58604\,T_f =0 \quad\Longrightarrow\quad T_f = \frac{5{,}458\times10^5}{58604}\approx9{,}31\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Agora calculamos \Delta S em duas partes:
(a) gelo \to água a T_f:
1. aquecimento de -10 até 0\,^{\circ}\mathrm{C}:
\Delta S_1 = m_i\,c_{\mathrm{ice}} \ln\frac{273{,}15}{263{,}15} =2\cdot2100\ln(1,0380)\approx157\\ \mathrm{J/K}.
2. fusão a 0\,^{\circ}\mathrm{C}:
\Delta S_2 = \frac{m_i\,L_f}{273{,}15} = \frac{6{,}68\times10^5}{273{,}15}\approx2446\\ \mathrm{J/K}.
3. aquecimento de 0 até T_f=9{,}31\,^\circ\mathrm{C}:
\Delta S_3 = m_i\,c_w \ln\frac{273{,}15+9{,}31}{273{,}15} =8372\ln(1,0339)\approx279\\ \mathrm{J/K}.
Somando,
\Delta S_{\mathrm{gelo}} = 157 + 2446 + 279 \approx 2882\\ \mathrm{J/K}.

Passo 5

(b) água de 25 até 9{,}31\,^\circ\mathrm{C}:
\Delta S_{\mathrm{água}} = m_w\,c_w \ln\frac{273{,}15+9{,}31}{298{,}15} =50232\ln\!\bigl(0,9476\bigr)\approx -2712\\ \mathrm{J/K}.á

Passo 6

A variação líquida de entropia é
\Delta S = \Delta S_{\mathrm{gelo}} + \Delta S_{\mathrm{água}} \approx 2882 - 2712 = 170\\ \mathrm{J/K}.á

Resposta

A temperatura final da mistura é aproximadamente 9{,}3\,^\circ\mathrm{C} e a variação líquida de entropia é cerca de 1{,}7\times10^2\\ \mathrm{J/K}.

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