Exercício 07: O arranjo pistão/cilindro sem atrito contém 2 kg de nitrogênio a 40^{\circ} \mathrm{C} e uma pressão de 200 kPa . Se a pressão for mantida
constante, calcule a temperatura final e variação de entropia se uma hélice no cilindro isolado adicionar 100 kJ de trabalho.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema pistão/cilindro sem atrito contendo 2\;\mathrm{kg} de nitrogênio, em estado inicial com temperatura \,T_{1}=40^\circ\mathrm{C} e pressão constante P=200\;\mathrm{kPa}. Uma hélice no interior do cilindro, que é termicamente isolado, adiciona 100\;\mathrm{kJ} de trabalho ao gás. Pede-se a temperatura final e a variação de entropia do nitrogênio.
Conteúdo necessário: aplicaremos a primeira lei da termodinâmica para sistema fechado com trabalho de eixo e trabalho de expansão, usaremos a equação de estado do gás ideal e os calores específicos constantes para nitrogênio, além da relação de entropia de gás ideal.

Passo 2

Escrevendo a primeira lei para o sistema fechado, em que Q=0 (adiabático), W_{\rm eixo}=+100\;\mathrm{kJ} (trabalho fornecido ao gás) e o trabalho de expansão realizado pelo gás é W_{\rm exp}=P\,(V_{2}-V_{1}) (positivo quando o gás faz trabalho). Usando a convenção
\Delta U \;=\; Q \;+\; W_{\rm eixo}\;-\;W_{\rm exp}
temos
\Delta U \;=\; 0 \;+\;100\;-\,P\,(V_{2}-V_{1})\,.
Para gás ideal,
\Delta U = m\,c_{v}\,(T_{2}-T_{1}) \quad\text{e}\quad P\,(V_{2}-V_{1}) = m\,R\,(T_{2}-T_{1})\,.
Substituindo em \Delta U = 100 - P(V_{2}-V_{1}) resulta
m\,c_{v}\,(T_{2}-T_{1}) =100 - m\,R\,(T_{2}-T_{1}) \;\Longrightarrow\; m\,(c_{v}+R)\,(T_{2}-T_{1})=100.
Como c_{v}+R=c_{p}, obtemos
m\,c_{p}\,(T_{2}-T_{1})=100.

Passo 3

Agora isolamos T_{2}. Para nitrogênio aproximamos c_{p}=1{,}04\;\mathrm{kJ/kg\cdot K}. Como m=2\;\mathrm{kg} e T_{1}=40^\circ\mathrm{C}=313{,}15\;\mathrm{K},
T_{2} = T_{1} + \frac{100}{m\,c_{p}} = 313{,}15 + \frac{100}{2\cdot1{,}04} \approx 313{,}15 + 48{,}08 =361{,}23\;\mathrm{K}.
Em graus Celsius isso equivale a
T_{2}\approx361{,}23 -273{,}15 =88{,}08^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Para a variação de entropia de gás ideal com c_{p} constante e pressão constante temos
\Delta S = m\,c_{p}\,\ln\!\bigl(\tfrac{T_{2}}{T_{1}}\bigr) - m\,R\,\ln\!\bigl(\tfrac{P_{2}}{P_{1}}\bigr).
Como P_{2}=P_{1}, o segundo termo anula-se, restando
\Delta S =2\cdot1{,}04\;\ln\!\bigl(\tfrac{361{,}23}{313{,}15}\bigr) \approx2{,}08\;\ln(1{,}1537) \approx2{,}08\cdot0{,}1429 \approx0{,}297\;\mathrm{kJ/K}.

Resposta

Temperatura final: T_{2}\approx361{,}2\;\mathrm{K} (ou 88{,}1^\circ\mathrm{C}).
Variação de entropia: \Delta S\approx0{,}297\;\mathrm{kJ/K}.

Exercícios relacionados