Exercício 08: As probabilidades de que duas pessoas A e B resolvam um problema são: \mathrm{P}(\mathrm{A})=1 / 3 e \mathrm{P}(\mathrm{B})= 3/5. Admitindo que as duas pessoas tentem resolver o problema de forma independente, qual a probabilidade de que:
ao menos um resolva o problema?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • A probabilidade de que a pessoa A resolva o problema é \mathrm{P}(A)=\dfrac{1}{3}.
  • A probabilidade de que a pessoa B resolva o problema é \mathrm{P}(B)=\dfrac{3}{5}.
  • As tentativas de A e B são independentes.
A pergunta é: qual a probabilidade de que ao menos uma das duas pessoas resolva o problema? Em notação, isso pede \mathrm{P}(A\cup B).

Passo 2

Explicação do conceito de independência (passe curta, sem medo): dizer que os eventos A e B são independentes significa que a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro. Matemáticamente, isso implica
\mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(A)\cdot \mathrm{P}(B).
Isso vai nos permitir calcular probabilidades conjuntas simplesmente multiplicando.

Passo 3

Duas formas práticas de achar \mathrm{P}(A\cup B) (escolho a mais simples para fazer primeiro):
  • Método direto (fórmula da união): \mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-\mathrm{P}(A\cap B).
  • Método do complementar (mais rápido aqui): \mathrm{P}(A\cup B)=1-\mathrm{P}(\text{nenhum resolve}).
Vou usar o método do complementar porque é mais curto e evita cálculos extras.

Passo 4

Explicando o método do complementar (aula rápida): o evento “ao menos um resolve” é o complemento do evento “nenhum resolve”. Logo
\mathrm{P}(A\cup B)=1-\mathrm{P}(\text{nenhum resolve}).
O evento “nenhum resolve” equivale a " A^c e B^c ocorrem" isto é A^c\cap B^c. Como A e B são independentes, também A^c e B^c são independentes, então
\mathrm{P}(A^c\cap B^c)=\mathrm{P}(A^c)\cdot\mathrm{P}(B^c).

Passo 5

Calcular \mathrm{P}(A^c) e \mathrm{P}(B^c) passo a passo:
\mathrm{P}(A^c)=1-\mathrm{P}(A)=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}.
\mathrm{P}(B^c)=1-\mathrm{P}(B)=1-\dfrac{3}{5}=\dfrac{2}{5}.
Multiplicando para obter a probabilidade de nenhum resolver:
\mathrm{P}(A^c\cap B^c)=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{15}.

Passo 6

Agora aplico o complementar para achar a probabilidade pedida:
\mathrm{P}(A\cup B)=1-\mathrm{P}(A^c\cap B^c)=1-\dfrac{4}{15}=\dfrac{11}{15}.

Passo 7

Cheque rápido usando a fórmula da união para confirmar (opcional, só para segurança):
\mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-\mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{5}-\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3}{5}.
Calcule passo a passo
\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{5}=\dfrac{5}{15}+\dfrac{9}{15}=\dfrac{14}{15},
\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3}{5}=\dfrac{1}{5}=\dfrac{3}{15},
\dfrac{14}{15}-\dfrac{3}{15}=\dfrac{11}{15}.
Confere com o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{11}{15}