Exercício 08: As probabilidades de que duas pessoas A e B resolvam um problema são:
e
3/5. Admitindo que as duas pessoas tentem resolver o problema de forma independente, qual a probabilidade de que:
ao menos um resolva o problema?
ao menos um resolva o problema?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- A probabilidade de que a pessoa
resolva o problema é . - A probabilidade de que a pessoa
resolva o problema é . - As tentativas de
e são independentes.
A pergunta é: qual a probabilidade de que ao menos uma das duas pessoas resolva o problema? Em notação, isso pede
.
Passo 2
Explicação do conceito de independência (passe curta, sem medo): dizer que os eventos
e
são independentes significa que a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro. Matemáticamente, isso implica
Isso vai nos permitir calcular probabilidades conjuntas simplesmente multiplicando.
Passo 3
Duas formas práticas de achar
(escolho a mais simples para fazer primeiro):
- Método direto (fórmula da união):
. - Método do complementar (mais rápido aqui):
.
Vou usar o método do complementar porque é mais curto e evita cálculos extras.
Passo 4
Explicando o método do complementar (aula rápida): o evento “ao menos um resolve” é o complemento do evento “nenhum resolve”. Logo
O evento “nenhum resolve” equivale a "
e
ocorrem" isto é
. Como
e
são independentes, também
e
são independentes, então
Passo 5
Calcular
e
passo a passo:
Multiplicando para obter a probabilidade de nenhum resolver:
Passo 6
Agora aplico o complementar para achar a probabilidade pedida:
Passo 7
Cheque rápido usando a fórmula da união para confirmar (opcional, só para segurança):
Calcule passo a passo
Confere com o resultado anterior.