Exercício 10. Calcule os limites a seguir, utilizando manipulações algébricas para eliminar eventuais indeterminações:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left[5 x^{3}-x^{2} y^{2}\right]

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl[5x^{3}-x^{2}y^{2}\bigr].
Informações dadas:
  • A expressão é 5x^{3}-x^{2}y^{2}.
  • O ponto de interesse é (x,y)=(0,0).
    A pergunta é: qual é o valor do limite quando (x,y) se aproxima de (0,0)?

Passo 2

Estratégia que vou usar (sem resolver ainda): vou mostrar que o valor absoluto da função fica pequeno quando (x,y) está próximo de (0,0), isto é, vou obter uma desigualdade do tipo
\bigl|5x^{3}-x^{2}y^{2}\bigr|\le \text{algo que tende a }0
quando (x,y)\to(0,0). Para isso é útil trabalhar com a norma radial
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
pois quando (x,y)\to(0,0) temos r\to0, e além disso vale as desigualdades óbvias
|x|\le r,\qquad |y|\le r.
Vou usar essas relações para controlar os termos x^{3} e x^{2}y^{2}.

Passo 3

Controlando o primeiro termo 5x^{3}.
Usando |x|\le r segue
|5x^{3}|=5|x|^{3}\le 5r^{3}.
Explicando devagar: como |x|\le r, elevar ambos os lados ao cubo (números não-negativos) preserva a desigualdade, então |x|^{3}\le r^{3}, daí o fator 5 multiplica ambos os lados.

Passo 4

Controlando o segundo termo x^{2}y^{2}.
Usando |x|\le r e |y|\le r temos
|x^{2}y^{2}|=|x|^{2}|y|^{2}\le r^{2}\cdot r^{2}=r^{4}.
Novamente: como |x|\le r e |y|\le r, os quadrados satisfazem |x|^{2}\le r^{2} e |y|^{2}\le r^{2}, multiplicando obtemos |x|^{2}|y|^{2}\le r^{4}.

Passo 5

Juntando as duas estimativas pelo triângulo (ou desigualdade do valor absoluto):
\bigl|5x^{3}-x^{2}y^{2}\bigr|\le |5x^{3}|+|x^{2}y^{2}|\le 5r^{3}+r^{4}.
Então para qualquer (x,y) vale a desigualdade acima, onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 6

Aplicando o limite em r. Quando (x,y)\to(0,0) temos r\to0. As funções r\mapsto r^{3} e r\mapsto r^{4} tendem a 0 quando r\to0. Portanto
5r^{3}+r^{4}\to 0\quad\text{quando }r\to0.
Pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem): se |5x^{3}-x^{2}y^{2}|\le 5r^{3}+r^{4} e a direita tende a 0, então |5x^{3}-x^{2}y^{2}|\to 0, o que implica que
5x^{3}-x^{2}y^{2}\to 0
quando (x,y)\to(0,0).

Passo 7

Comentário didático rápido (atalho que também funciona): a expressão é um polinômio em x e y. Polinômios são funções contínuas, logo o limite em um ponto é simplesmente o valor da função naquele ponto. Aqui o valor em (0,0) é 5\cdot0^{3}-0^{2}\cdot0^{2}=0. A demonstração anterior com desigualdades mostra esse fato de forma elementar sem recorrer diretamente à propriedade de continuidade.

Resposta

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