Exercício 1.10. Calcule a série de Fourier das seguintes funções:
f(x)=1+sen x+cos 2 x.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de período 2pi para
f(x)=1+sen x+cos2x
Vamos usar a forma trigonométrica
f(x)sim a02+sumn=1^inftyl(ancos(nx)+bnsen(nx)r)
com
an=1piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx, bn=1piintegral-pi^pif(x)sen(nx),dx

Passo 2

Calcular a0:
a0=1piintegral-pi^pil(1+sen x+cos2xr),dx =1pil[integral-pi^pi1,dx+underbraceintegral-pi^pisen x,dx0+underbraceintegral-pi^picos2x,dx0r] =1pi(2pi)=2

Passo 3

Calcular an para n>=1:
an=1piintegral-pi^pi(1+sen x+cos2x)cos(nx),dx
Por ortogonalidade:
integral-pi^picos(nx),dx=0,
integral-pi^pisen xcos(nx),dx=0,
integral-pi^picos2xcos(nx),dx=0 para nneq2,
e para n=2:
integral-pi^picos^2(2x),dx=pi ;Longrightarrow; a2=1pi,pi=1
Logo
an= 1,&n=2, 0,&nneq2

Passo 4

Calcular bn para n>=1:
bn=1piintegral-pi^pi(1+sen x+cos2x)sen(nx),dx
Por ortogonalidade:
integral-pi^pi1cdotsen(nx),dx=0,
integral-pi^picos2xsen(nx),dx=0,
e para n=1:
integral-pi^pisen^2(x),dx=pi ;Longrightarrow; b1=1pi,pi=1
Logo
bn= 1,&n=1, 0,&nneq1

Passo 5

Montando a série de Fourier:
f(x)sim a02+sumn=1^inftyl(ancos(nx)+bnsen(nx)r) =1 + sen x + cos2x

Resposta

boxedf(x)=1+sen x+cos2x,
ou seja, a própria função já é sua série de Fourier.

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