Exercício 10: Demonstre as propriedades comutativa e associativa da bicondicional. isto é mostre que p \longleftrightarrow q \Longleftrightarrow q \longleftrightarrow p e (p \longleftrightarrow q) \longleftrightarrow r \Longleftrightarrow p \longleftrightarrow(q \longleftrightarrow r)

Passo 1

O enunciado pede duas demonstrações (peguei exatamente as fórmulas do enunciado):
  • Demonstrar a propriedade comutativa da bicondicional, ou seja provar que \;p \longleftrightarrow q \Longleftrightarrow q \longleftrightarrow p\;.
  • Demonstrar a propriedade associativa da bicondicional, ou seja provar que \;(p \longleftrightarrow q) \longleftrightarrow r \Longleftrightarrow p \longleftrightarrow (q \longleftrightarrow r)\;.
Informações úteis fornecidas/implicadas:
  • As proposições são p, q e r.
  • Pode-se usar definições e equivalências lógicas padrão (por exemplo equivalência entre implicação e disjunção, leis de De Morgan, distributividade, etc.).

Passo 2

Definição e formas equivalentes da bicondicional — mini-aula para entender o que vamos manipular.
  • A bicondicional entre duas proposições a e b é definida por
a \leftrightarrow b \equiv (a \rightarrow b) \land (b \rightarrow a).
Expliquei o que aparece aí: (a\rightarrow b) significa “se a então b”; o símbolo \land é o E lógico (conjunção).
  • Há uma equivalência útil para implicação:
a \rightarrow b \equiv \neg a \lor b,
onde \neg é negação e \lor é OU lógico (disjunção). Isso é padrão e muito usado para transformar implicações em formas com \lor e \land.
  • Usando isso, a bicondicional pode ser reescrita como
a \leftrightarrow b \equiv (\neg a \lor b) \land (\neg b \lor a).
Outra forma muito prática, que aparece ao desenvolver essa expressão, é a forma em disjunção de conjunções (DNF):
a \leftrightarrow b \equiv (a \land b) \lor (\neg a \land \neg b).
Essa última expressão diz em palavras: “ a e b são ambos verdadeiros, ou ambos falsos” — é uma forma intuitiva da bicondicional.
Vou usar essas equivalências (e leis elementares como distributividade e eliminação de contradições) para demonstrar as propriedades pedidas.

Passo 3

Demonstração da comutatividade: \;p \leftrightarrow q \Longleftrightarrow q \leftrightarrow p.
  1. Começo pela definição:
p \leftrightarrow q \equiv (p \rightarrow q) \land (q \rightarrow p).
  1. Substituo a implicação por disjunção:
p \leftrightarrow q \equiv (\neg p \lor q) \land (\neg q \lor p).
  1. Faço a distribuição (produto notável lógico): lembrar que (A\lor B)\land(C\lor D) \equiv (A\land C)\lor(A\land D)\lor(B\land C)\lor(B\land D). Aplicando com A=\neg p, B=q, C=\neg q, D=p,
(\neg p \lor q) \land (\neg q \lor p) \equiv (\neg p\land \neg q)\\ \lor\\ (\neg p\land p)\\ \lor\\ (q\land \neg q)\\ \lor\\ (q\land p).
  1. Elimino os termos contraditórios \neg p\land p e q\land \neg q (ambos são falsos em qualquer avaliação), sobrando
(\neg p\land \neg q)\\ \lor\\ (p\land q).
  1. Reescrevo em ordem mais convencional:
p \leftrightarrow q \equiv (p\land q)\\ \lor\\ (\neg p\land \neg q).
  1. A expressão final é visivelmente simétrica em p e q: trocar p por q e q por p não altera a forma. Logo
p \leftrightarrow q \equiv q \leftrightarrow p.
Conclusão da comutatividade: demonstrado porque ambas as fórmulas são equivalentes à mesma expressão simétrica (p\land q)\lor(\neg p\land\neg q).

Passo 4

Demonstração da associatividade: \;(p \leftrightarrow q) \leftrightarrow r \Longleftrightarrow p \leftrightarrow (q \leftrightarrow r).
Vou mostrar que ambos os lados se reduzem à mesma forma em disjunção de conjunções (DNF) contendo exatamente as mesmas quatro cláusulas.
  1. Começo pelo lado esquerdo. Defina A := p \leftrightarrow q. Pela forma DNF já vista,
A \equiv (p\land q)\\ \lor\\ (\neg p\land \neg q).
  1. Agora calcule (p\leftrightarrow q)\leftrightarrow r, isto é A \leftrightarrow r. Usando a forma DNF de bicondicional,
A \leftrightarrow r \equiv (A\land r)\\ \lor\\ (\neg A\land \neg r).
  1. Substituo A em A\land r:
A\land r \equiv \big((p\land q)\lor(\neg p\land \neg q)\big)\land r \equiv (p\land q\land r)\\ \lor\\ (\neg p\land \neg q\land r).
(nova distribuição simples: (X\lor Y)\land r \equiv (X\land r)\lor(Y\land r).)
  1. Para \neg A, observo que \neg A é a negação de (p\land q)\lor(\neg p\land\neg q). De modo mais simples (e intuitivo), isso é exatamente " p e q têm valores diferentes", ou seja
\neg A \equiv (p\land \neg q)\\ \lor\\ (\neg p\land q).
(essa é a negação da igualdade de p e q: quando não são iguais, um é verdadeiro e o outro falso.)
  1. Então
\neg A \land \neg r \equiv \big((p\land \neg q)\lor(\neg p\land q)\big)\land \neg r \equiv (p\land \neg q\land \neg r)\\ \lor\\ (\neg p\land q\land \neg r).
  1. Somando os termos de A\land r e \neg A\land \neg r, obtemos a DNF completa do lado esquerdo:
(p\land q\land r)\\ \lor\\ (\neg p\land \neg q\land r)\\ \lor\\ (p\land \neg q\land \neg r)\\ \lor\\ (\neg p\land q\land \neg r).
Guarde essa lista de quatro conjunções; ela representa todas as avaliações em que (p\leftrightarrow q)\leftrightarrow r é verdadeira.
  1. Agora faço o lado direito p\leftrightarrow (q\leftrightarrow r). Defina B := q\leftrightarrow r. Pela mesma razão,
B \equiv (q\land r)\\ \lor\\ (\neg q\land \neg r).
  1. Calculo p\leftrightarrow B pela forma DNF:
p\leftrightarrow B \equiv (p\land B)\\ \lor\\ (\neg p\land \neg B).
  1. Substituo B em p\land B:
p\land B \equiv p\land\big((q\land r)\lor(\neg q\land \neg r)\big) \equiv (p\land q\land r)\\ \lor\\ (p\land \neg q\land \neg r).
  1. Para \neg B uso o mesmo raciocínio de antes: \neg B significa q e r diferentes, isto é
\neg B \equiv (q\land \neg r)\\ \lor\\ (\neg q\land r).
Então
\neg p\land \neg B \equiv (\neg p\land q\land \neg r)\\ \lor\\ (\neg p\land \neg q\land r).
  1. Combinando os termos de p\land B e \neg p\land \neg B obtenho exatamente:
(p\land q\land r)\\ \lor\\ (p\land \neg q\land \neg r)\\ \lor\\ (\neg p\land q\land \neg r)\\ \lor\\ (\neg p\land \neg q\land r).
  1. Comparando com a DNF obtida no passo 6, vemos que são as mesmas quatro conjunções, apenas escritas em ordem diferente. Portanto
(p\leftrightarrow q)\leftrightarrow r \equiv p\leftrightarrow (q\leftrightarrow r).
Conclusão da associatividade: demonstrado porque ambos os lados são equivalentes à mesma DNF com as quatro conjunções listadas.

Passo 5

Resumo intuitivo final (sem repetir as fórmulas formais aqui): a bicondicional é “ser iguais” em valor lógico; isso já sugere comutatividade (trocar as proposições não muda a igualdade) e associatividade (a igualdade é uma relação que, quando encadeada dessa forma, não depende da ordem de avaliação). As demonstrações formais acima transformaram as fórmulas em formas canônicas idênticas (DNF) e assim fecharam a prova rigorosa.

Resposta

p \longleftrightarrow q \Longleftrightarrow q \longleftrightarrow p
(p \longleftrightarrow q) \longleftrightarrow r \Longleftrightarrow p \longleftrightarrow (q \longleftrightarrow r)