Exercício 10: Demonstre as propriedades comutativa e associativa da bicondicional. isto é mostre que
e
Passo 1
O enunciado pede duas demonstrações (peguei exatamente as fórmulas do enunciado):
- Demonstrar a propriedade comutativa da bicondicional, ou seja provar que
. - Demonstrar a propriedade associativa da bicondicional, ou seja provar que
.
Informações úteis fornecidas/implicadas:
- As proposições são
, e . - Pode-se usar definições e equivalências lógicas padrão (por exemplo equivalência entre implicação e disjunção, leis de De Morgan, distributividade, etc.).
Passo 2
Definição e formas equivalentes da bicondicional — mini-aula para entender o que vamos manipular.
- A bicondicional entre duas proposições
e é definida por
Expliquei o que aparece aí:
significa “se
então
”; o símbolo
é o E lógico (conjunção).
- Há uma equivalência útil para implicação:
onde
é negação e
é OU lógico (disjunção). Isso é padrão e muito usado para transformar implicações em formas com
e
.
- Usando isso, a bicondicional pode ser reescrita como
Outra forma muito prática, que aparece ao desenvolver essa expressão, é a forma em disjunção de conjunções (DNF):
Essa última expressão diz em palavras: “
e
são ambos verdadeiros, ou ambos falsos” — é uma forma intuitiva da bicondicional.
Vou usar essas equivalências (e leis elementares como distributividade e eliminação de contradições) para demonstrar as propriedades pedidas.
Passo 3
Demonstração da comutatividade:
.
- Começo pela definição:
- Substituo a implicação por disjunção:
- Faço a distribuição (produto notável lógico): lembrar que
. Aplicando com , , , ,
- Elimino os termos contraditórios
e (ambos são falsos em qualquer avaliação), sobrando
- Reescrevo em ordem mais convencional:
- A expressão final é visivelmente simétrica em
e : trocar por e por não altera a forma. Logo
Conclusão da comutatividade: demonstrado porque ambas as fórmulas são equivalentes à mesma expressão simétrica
.
Passo 4
Demonstração da associatividade:
.
Vou mostrar que ambos os lados se reduzem à mesma forma em disjunção de conjunções (DNF) contendo exatamente as mesmas quatro cláusulas.
- Começo pelo lado esquerdo. Defina
. Pela forma DNF já vista,
- Agora calcule
, isto é . Usando a forma DNF de bicondicional,
- Substituo
em :
(nova distribuição simples:
.)
- Para
, observo que é a negação de . De modo mais simples (e intuitivo), isso é exatamente " e têm valores diferentes", ou seja
(essa é a negação da igualdade de
e
: quando não são iguais, um é verdadeiro e o outro falso.)
- Então
- Somando os termos de
e , obtemos a DNF completa do lado esquerdo:
Guarde essa lista de quatro conjunções; ela representa todas as avaliações em que
é verdadeira.
- Agora faço o lado direito
. Defina . Pela mesma razão,
- Calculo
pela forma DNF:
- Substituo
em :
- Para
uso o mesmo raciocínio de antes: significa e diferentes, isto é
Então
- Combinando os termos de
e obtenho exatamente:
- Comparando com a DNF obtida no passo 6, vemos que são as mesmas quatro conjunções, apenas escritas em ordem diferente. Portanto
Conclusão da associatividade: demonstrado porque ambos os lados são equivalentes à mesma DNF com as quatro conjunções listadas.
Passo 5
Resumo intuitivo final (sem repetir as fórmulas formais aqui): a bicondicional é “ser iguais” em valor lógico; isso já sugere comutatividade (trocar as proposições não muda a igualdade) e associatividade (a igualdade é uma relação que, quando encadeada dessa forma, não depende da ordem de avaliação). As demonstrações formais acima transformaram as fórmulas em formas canônicas idênticas (DNF) e assim fecharam a prova rigorosa.