Exercício 10 (PC3.15). Um processo para um gás ideal é representado por P V^{n}=C, onde n assume um valor característico. Demonstre que a expressão para o trabalho realizado em um processo entre os estados 1 e 2 é
W=\frac{P_{2} V_{2}-P_{1} V_{1}}{1-n}
Isso é válido para um processo isotérmico? Se não, determine a expressão correta.

Passo 1

O enunciado fala de um processo politrópico para um gás ideal, definido por
P\,V^{n}=C,
e pede para mostrar que o trabalho realizado entre os estados 1 e 2 é
W=\frac{P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}}{1-n}.
O conteúdo aqui é termodinâmica de gases ideais e cálculo de trabalho via
W=\int_{V_{1}}^{V_{2}}P\,dV.

Passo 2

Expressamos a pressão em função do volume usando P=C\,V^{-n} e escrevemos o trabalho como integral
W=\int_{V_{1}}^{V_{2}}P\,dV =\int_{V_{1}}^{V_{2}}C\,V^{-n}\,dV.

Passo 3

Como n\neq1, podemos integrar diretamente:
W = C\int_{V_{1}}^{V_{2}}V^{-n}\,dV = C\left[\frac{V^{\,1-n}}{1-n}\right]_{V_{1}}^{V_{2}} = \frac{C}{1-n}\bigl(V_{2}^{\,1-n}-V_{1}^{\,1-n}\bigr).

Passo 4

Usando C=P_{1}V_{1}^{n}=P_{2}V_{2}^{n}, multiplicamos top-and-bottom por V_{2}^{n-1} e por V_{1}^{n-1} conforme necessário para obter
W =\frac{1}{1-n}\bigl(P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}\bigr).

Passo 5

Observe que, ao tomar n=1, o denominador fica zero e a fórmula acima deixa de fazer sentido. Esse caso corresponde ao processo isotérmico, no qual
P\,V=\text{constante}=mR\,T.
Para n=1 calculamos o trabalho diretamente de
W=\int_{V_{1}}^{V_{2}}P\,dV =\int_{V_{1}}^{V_{2}}\frac{mR\,T}{V}\,dV =mR\,T\int_{V_{1}}^{V_{2}}\frac{dV}{V}.

Passo 6

Integrando para o caso isotérmico:
W =mR\,T\bigl[\ln V\bigr]_{V_{1}}^{V_{2}} =mR\,T\ln\!\bigl(\tfrac{V_{2}}{V_{1}}\bigr).
Como mR\,T=P_{1}V_{1}=P_{2}V_{2}, podemos também escrever
W=P_{1}V_{1}\ln\!\bigl(\tfrac{V_{2}}{V_{1}}\bigr) \quad\text{ou}\quad W=P_{2}V_{2}\ln\!\bigl(\tfrac{V_{2}}{V_{1}}\bigr).

Resposta

Para um processo politrópico geral n\neq1
W=\frac{P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}}{1-n}.
Esse resultado não vale para o processo isotérmico n=1. Nesse caso
W=mR\,T\ln\!\bigl(\tfrac{V_{2}}{V_{1}}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad W=P_{1}V_{1}\ln\!\bigl(\tfrac{V_{2}}{V_{1}}\bigr).

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