Exercício 0.10 Resolva as inequações abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações e condições dadas (ou necessárias):
- A base
da função logarítmica satisfaz e (condição padrão para ). - A expressão dentro do logaritmo deve ser positiva:
- A expressão dentro da raiz quadrada deve ser não-negativa:
O que se pede: determinar, em função de
, o conjunto dos
que satisfazem a inequação.
Passo 2
Transformar a inequação para algo mais manejável.
Seja
A inequação é
. Para uma raiz quadrada de um número real fazermos sentido, precisamos de
; além disso
é equivalente a
Portanto a inequação original equivale à dupla condição
Passo 3
Converter a condição sobre o logaritmo em condições sobre a fração
. Aqui é importante lembrar a monotonicidade do logaritmo:
- Se
, então é crescente e
- Se
, então é decrescente e
Aplicando isso com
obtemos dois casos a tratar separadamente:
- Caso I:
buscar com . - Caso II:
buscar com .
Além disso sempre vale
(denominador nulo) e devemos ter
quando for exigido pelo logaritmo; esse requisito será verificado naturalmente ao combinar as desigualdades.
Passo 4
Preparação: analise rápida do sinal da fração
Zeros e pontos singulares:
- Numerador
em . - Denominador
em (proíbido).
Sinal de: - Para
: e (porque ), logo . - Para
: e , logo (inválido para o logaritmo). - Para
: e , logo .
Conclusão prática: só podem valer soluções comou . Intervalo está automaticamente excluído por tornar .
Passo 5
Caso I:
. Então queremos
Primeiro resolvemos a parte esquerda
.
Resolver
:
- Se
(denom. ), multiplica-se sem alterar o sentido:
Como estamos em
, isso é automaticamente verdadeiro para todo
. Portanto, sobre
a desigualdade esquerda é satisfeita.
- Se
(denom. ), ao multiplicar o sentido inverte:
Logo, sobre
a desigualdade esquerda vale exatamente para
.
Juntando:
Juntando:
lembrando
.
Passo 6
Ainda no Caso I (
), agora resolvemos a parte direita
. Trabalhamos separando
e
(novamente atenção ao sinal do denominador).
Para
(multiplicador positivo):
Isto é
- Se
(ou seja, ), divide-se por sem inverter:
- Se
(ou seja, ), dividir inverte:
Observe que para
a quantidade
é maior que
(vai de
a
quando
caminha de
a
), então a condição
é incompatível com
. Portanto, no subcaso
não há solução com
.
Para
(denominador negativo, multiplicação inverte o sinal):
Isto é
- Se
(ou seja, ), divide-se sem inverter:
- Se
(ou seja, ), dividir inverte:
Lembre que, para o lado
, já precisamos também ter
pela desigualdade esquerda (passo 5). Portanto, as soluções em
serão obtidas intersectando com
.
Passo 7
Consolidando o Caso I (
), considerando subcasos:
(a) Se
(ou seja
):
- Para
a condição dá . Lembrando que para a desigualdade esquerda já era satisfeita, portanto aceitamos (sempre com ). - Para
e em particular (pela parte esquerda), a condição deu . Mas para observa-se que ; portanto qualquer já satisfaz . Assim todo entra na solução.
Conclusão para:
(Nas desigualdades estritas, o ponto
não é incluído porque aí teria
, o que dá
e então
. O ponto
é incluído: nele
e
.)
(b) Se
(ou seja
):
- Para
não há solução (veja passo 6). - Para
temos a necessidade (passo 5) e a condição adicional (resultado do passo 6 para com ). Nesse intervalo a quantidade satisfaz , portanto há um intervalo não vazio.
Conclusão para:
(onde
está incluído e a extremidade à direita é excluída por ser caso de igualdade
).
(c) O caso limite
pode ser tratado diretamente a partir de
: isso leva a
. Isso coincide com o limite das fórmulas acima.
Passo 8
Caso II:
. Aqui a condição é
Começamos por
.
Resolver
:
- Se
(denom. ), multiplicando:
impossível com
. Logo não há solução em
.
- Se
(denom. ), multiplicando inverte:
Assim,
ocorre exatamente para
.
Mas lembrando do sinal de
(passo 4), para
temos
(logo inválido). Portanto a faixa viável já se restringe a
.
Agora impondo
sobre esse intervalo. Como em
o denominador é negativo, ao multiplicar obtemos:
Isto leva a
ou seja (observando que
é positivo quando
):
Combinação com
dá a solução do Caso II:
Note que para
tem-se
, logo essa desigualdade faz sentido e garante
(portanto
).
Passo 9
Resumindo todas as peças (organização final das soluções por faixas de
):
- Se
:
- Se
:
- Se
:
- Se
:
Em todos os casos foi excluído
automaticamente (denominador zero) e também foram excluídos os pontos que tornam
(pois aí a raiz valeria
, não estritamente menor).
Resposta
Para
:
Para
:
Para
:
Para
: