Exercício 0.10 Resolva as inequações abaixo.
\sqrt{\log _{a}\left(\frac{3-2 x}{1-x}\right)}<1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\sqrt{\log_{a}\!\left(\frac{3-2x}{1-x}\right)}<1.
Informações e condições dadas (ou necessárias):
  • A base a da função logarítmica satisfaz a>0 e a\neq1 (condição padrão para \log_a).
  • A expressão dentro do logaritmo deve ser positiva:
\frac{3-2x}{1-x}>0.
  • A expressão dentro da raiz quadrada deve ser não-negativa:
\log_{a}\!\left(\frac{3-2x}{1-x}\right)\ge0.
O que se pede: determinar, em função de a, o conjunto dos x\in\mathbb{R} que satisfazem a inequação.

Passo 2

Transformar a inequação para algo mais manejável.
Seja
y=\log_{a}\!\left(\frac{3-2x}{1-x}\right).
A inequação é \sqrt{y}<1. Para uma raiz quadrada de um número real fazermos sentido, precisamos de y\ge0; além disso \sqrt{y}<1 é equivalente a
0\le y<1.
Portanto a inequação original equivale à dupla condição
0\le \log_{a}\!\left(\frac{3-2x}{1-x}\right)<1.

Passo 3

Converter a condição sobre o logaritmo em condições sobre a fração \dfrac{3-2x}{1-x}. Aqui é importante lembrar a monotonicidade do logaritmo:
  • Se a>1, então \log_a é crescente e
0\le \log_a(u)<1 \quad\Longleftrightarrow\quad 1\le u < a.
  • Se 0<a<1, então \log_a é decrescente e
0\le \log_a(u)<1 \quad\Longleftrightarrow\quad a<u\le 1.
Aplicando isso com u=\dfrac{3-2x}{1-x} obtemos dois casos a tratar separadamente:
  • Caso I: a>1 \Longrightarrow buscar x com 1\le \dfrac{3-2x}{1-x}<a.
  • Caso II: 0<a<1 \Longrightarrow buscar x com a<\dfrac{3-2x}{1-x}\le 1.
Além disso sempre vale x\neq1 (denominador nulo) e devemos ter \dfrac{3-2x}{1-x}>0 quando for exigido pelo logaritmo; esse requisito será verificado naturalmente ao combinar as desigualdades.

Passo 4

Preparação: analise rápida do sinal da fração
u(x)=\frac{3-2x}{1-x}.
Zeros e pontos singulares:
  • Numerador 3-2x=0 em x=\tfrac{3}{2}.
  • Denominador 1-x=0 em x=1 (proíbido).
    Sinal de u(x):
  • Para x<1: 1-x>0 e 3-2x>0 (porque x<1<1.5), logo u(x)>0.
  • Para 1<x<1{,}5: 1-x<0 e 3-2x>0, logo u(x)<0 (inválido para o logaritmo).
  • Para x>1{,}5: 1-x<0 e 3-2x<0, logo u(x)>0.
    Conclusão prática: só podem valer soluções com x<1 ou x>1{,}5. Intervalo 1<x<1{,}5 está automaticamente excluído por tornar u(x)\le0.

Passo 5

Caso I: a>1. Então queremos
1\le \frac{3-2x}{1-x}<a.
Primeiro resolvemos a parte esquerda 1\le \dfrac{3-2x}{1-x}.
Resolver \dfrac{3-2x}{1-x}\ge1:
  • Se x<1 (denom. >0), multiplica-se sem alterar o sentido:
3-2x \ge 1-x \;\Longrightarrow\; 2-x\ge0 \;\Longrightarrow\; x\le2.
Como estamos em x<1, isso é automaticamente verdadeiro para todo x<1. Portanto, sobre x<1 a desigualdade esquerda é satisfeita.
  • Se x>1 (denom. <0), ao multiplicar o sentido inverte:
3-2x \le 1-x \;\Longrightarrow\; 2-x\le0 \;\Longrightarrow\; x\ge2.
Logo, sobre x>1 a desigualdade esquerda vale exatamente para x\ge2.
Juntando:
\frac{3-2x}{1-x}\ge1 \quad\Longleftrightarrow\quad x<1 \quad\text{ou}\quad x\ge2,
lembrando x\neq1.

Passo 6

Ainda no Caso I ( a>1), agora resolvemos a parte direita \dfrac{3-2x}{1-x}<a. Trabalhamos separando x<1 e x>1 (novamente atenção ao sinal do denominador).
Para x<1 (multiplicador positivo):
3-2x < a(1-x) \;\Longrightarrow\; (3-a) + x(a-2) <0.
Isto é
x(a-2) < a-3.
  • Se a-2>0 (ou seja, a>2), divide-se por a-2 sem inverter:
x < \frac{a-3}{a-2}.
  • Se a-2<0 (ou seja, 1<a<2), dividir inverte:
x > \frac{a-3}{a-2}.
Observe que para 1<a<2 a quantidade \dfrac{a-3}{a-2} é maior que 1 (vai de 2 a +\infty quando a caminha de 1^+ a 2^-), então a condição x> \dfrac{a-3}{a-2} é incompatível com x<1. Portanto, no subcaso 1<a<2 não há solução com x<1.
Para x>1 (denominador negativo, multiplicação inverte o sinal):
3-2x > a(1-x) \;\Longrightarrow\; (3-a)+x(a-2)>0.
Isto é
x(a-2) > a-3.
  • Se a-2>0 (ou seja, a>2), divide-se sem inverter:
x > \frac{a-3}{a-2}.
  • Se a-2<0 (ou seja, 1<a<2), dividir inverte:
x < \frac{a-3}{a-2}.
Lembre que, para o lado x>1, já precisamos também ter x\ge2 pela desigualdade esquerda (passo 5). Portanto, as soluções em x>1 serão obtidas intersectando com x\ge2.

Passo 7

Consolidando o Caso I ( a>1), considerando subcasos:
(a) Se a>2 (ou seja a-2>0):
  • Para x<1 a condição \dfrac{3-2x}{1-x}<a x<\dfrac{a-3}{a-2}. Lembrando que para x<1 a desigualdade esquerda já era satisfeita, portanto aceitamos x<\dfrac{a-3}{a-2} (sempre com x<1).
  • Para x>1 e em particular x\ge2 (pela parte esquerda), a condição deu x> \dfrac{a-3}{a-2}. Mas para a>2 observa-se que \dfrac{a-3}{a-2}<1; portanto qualquer x\ge2 já satisfaz x>\dfrac{a-3}{a-2}. Assim todo x\ge2 entra na solução.
    Conclusão para a>2:
x\in\bigl(-\infty,\tfrac{a-3}{a-2}\bigr)\\ \cup\\ [2,\infty).
(Nas desigualdades estritas, o ponto x=\tfrac{a-3}{a-2} não é incluído porque aí teria \dfrac{3-2x}{1-x}=a, o que dá \log_a=\!1 e então \sqrt{1}\not<1. O ponto x=2 é incluído: nele \dfrac{3-2x}{1-x}=1 e \sqrt{0}=0<1.)
(b) Se 1<a<2 (ou seja a-2<0):
  • Para x<1 não há solução (veja passo 6).
  • Para x>1 temos a necessidade x\ge2 (passo 5) e a condição adicional x<\dfrac{a-3}{a-2} (resultado do passo 6 para x>1 com a-2<0). Nesse intervalo a quantidade \dfrac{a-3}{a-2} satisfaz \dfrac{a-3}{a-2}>2, portanto há um intervalo não vazio.
    Conclusão para 1<a<2:
x\in[2,\tfrac{a-3}{a-2})
(onde 2 está incluído e a extremidade à direita é excluída por ser caso de igualdade \log_a(\cdot)=1).
(c) O caso limite a=2 pode ser tratado diretamente a partir de 1\le u<2: isso leva a x\ge2. Isso coincide com o limite das fórmulas acima.

Passo 8

Caso II: 0<a<1. Aqui a condição é
a<\frac{3-2x}{1-x}\le 1.
Começamos por \dfrac{3-2x}{1-x}\le1.
Resolver \dfrac{3-2x}{1-x}\le1:
  • Se x<1 (denom. >0), multiplicando:
3-2x \le 1-x \;\Longrightarrow\; 2-x\le0 \;\Longrightarrow\; x\ge2,
impossível com x<1. Logo não há solução em x<1.
  • Se x>1 (denom. <0), multiplicando inverte:
3-2x \ge 1-x \;\Longrightarrow\; 2-x\ge0 \;\Longrightarrow\; x\le2.
Assim, \dfrac{3-2x}{1-x}\le1 ocorre exatamente para 1<x\le2.
Mas lembrando do sinal de u(x) (passo 4), para 1<x<1{,}5 temos u(x)<0 (logo inválido). Portanto a faixa viável já se restringe a 1{,}5<x\le2.
Agora impondo \dfrac{3-2x}{1-x} > a sobre esse intervalo. Como em 1<x\le2 o denominador é negativo, ao multiplicar obtemos:
3-2x < a(1-x) \;\Longrightarrow\; (3-a) + x(a-2) <0.
Isto leva a
x(2-a) > 3-a,
ou seja (observando que 2-a>1 é positivo quando 0<a<1):
x > \frac{3-a}{2-a}.
Combinação com 1{,}5<x\le2 dá a solução do Caso II:
\frac{3-a}{2-a} < x \le 2.
Note que para 0<a<1 tem-se \dfrac{3-a}{2-a}\in\bigl(\tfrac{3}{2},2\bigr), logo essa desigualdade faz sentido e garante x>1{,}5 (portanto u(x)>0).

Passo 9

Resumindo todas as peças (organização final das soluções por faixas de a):
  • Se a>2:
x\in\bigl(-\infty,\tfrac{a-3}{a-2}\bigr)\\ \cup\\ [2,\infty).
  • Se a=2:
x\in[2,\infty).
  • Se 1<a<2:
x\in[2,\tfrac{a-3}{a-2}).
  • Se 0<a<1:
x\in\bigl(\tfrac{3-a}{\,2-a\,},\,2\bigr].
Em todos os casos foi excluído x=1 automaticamente (denominador zero) e também foram excluídos os pontos que tornam \log_a(\cdot)=1 (pois aí a raiz valeria 1, não estritamente menor).

Resposta

Para a>2: x\in\bigl(-\infty,\tfrac{a-3}{a-2}\bigr)\\ \cup\\ [2,\infty)
Para a=2: x\in[2,\infty)
Para 1<a<2: x\in[2,\tfrac{a-3}{a-2})
Para 0<a<1: x\in\bigl(\tfrac{3-a}{\,2-a\,},\,2\bigr]