Exercício 10. Utilizando a definição, calcule a derivada de f(x)=\sqrt{6-2 x} no ponto x_{0}=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular, utilizando a definição, a derivada de f no ponto x_{0}=1. Informações dadas:
f(x)=\sqrt{6-2x}
x_{0}=1
Nada mais é pedido além de usar a definição de derivada no ponto.

Passo 2

Vamos lembrar a definição de derivada de uma função num ponto. A derivada de f no ponto x_{0} é o limite do quociente incremental quando o incremento tende a zero:
f'(x_{0})=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.
Aqui h representa um pequeno incremento na variável x. A ideia é medir a taxa de variação média de f num intervalo pequeno e depois fazer esse intervalo encolher até zero.

Passo 3

Calculemos primeiro f(1), porque aparece na definição:
f(1)=\sqrt{6-2\cdot 1}=\sqrt{4}=2.

Passo 4

Escrevemos o quociente incremental para x_{0}=1:
\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{\sqrt{6-2(1+h)}-2}{h}=\frac{\sqrt{4-2h}-2}{h}.

Passo 5

Se tentarmos fazer h\to 0 por substituição direta, obtemos forma indeterminada 0/0. Para resolver isso fazemos uma manipulação algébrica: racionalizar o numerador. Multiplicamos numerador e denominador pela conjugada do numerador, que é \sqrt{4-2h}+2. Essa técnica elimina a raiz no numerador usando a identidade (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}.

Passo 6

Multiplicando por \dfrac{\sqrt{4-2h}+2}{\sqrt{4-2h}+2} obtemos:
\frac{\sqrt{4-2h}-2}{h}\cdot\frac{\sqrt{4-2h}+2}{\sqrt{4-2h}+2} = \frac{(\sqrt{4-2h})^{2}-2^{2}}{h\bigl(\sqrt{4-2h}+2\bigr)} = \frac{4-2h-4}{h\bigl(\sqrt{4-2h}+2\bigr)}.
Simplificando o numerador:
\frac{4-2h-4}{h\bigl(\sqrt{4-2h}+2\bigr)}=\frac{-2h}{h\bigl(\sqrt{4-2h}+2\bigr)}.
Agora podemos cancelar h (desde que h\neq 0, o que é OK dentro do limite):
\frac{-2h}{h\bigl(\sqrt{4-2h}+2\bigr)}=-\frac{2}{\sqrt{4-2h}+2}.

Passo 7

Agora tomamos o limite quando h\to 0:
f'(1)=\lim_{h\to 0}\left(-\frac{2}{\sqrt{4-2h}+2}\right).
Como a expressão no denominador é contínua em h=0, podemos substituir h=0:
f'(1)=-\frac{2}{\sqrt{4}+2}=-\frac{2}{2+2}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}.

Passo 8

Comentário rápido para checar: usando regra da cadeia (apenas como verificação), se f(x)=(6-2x)^{1/2} então f'(x)=\tfrac{1}{2}(6-2x)^{-1/2}\cdot(-2)=- (6-2x)^{-1/2}. Avaliando em x=1 -1/\sqrt{4}=-1/2, que confere com o cálculo pela definição.

Resposta

-\dfrac{1}{2}