Exercício 10. Utilizando a definição, calcule a derivada de
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular, utilizando a definição, a derivada de
no ponto
. Informações dadas:
Nada mais é pedido além de usar a definição de derivada no ponto.
Passo 2
Vamos lembrar a definição de derivada de uma função num ponto. A derivada de
no ponto
é o limite do quociente incremental quando o incremento tende a zero:
Aqui
representa um pequeno incremento na variável
. A ideia é medir a taxa de variação média de
num intervalo pequeno e depois fazer esse intervalo encolher até zero.
Passo 3
Calculemos primeiro
, porque aparece na definição:
Passo 4
Escrevemos o quociente incremental para
:
Passo 5
Se tentarmos fazer
por substituição direta, obtemos forma indeterminada
. Para resolver isso fazemos uma manipulação algébrica: racionalizar o numerador. Multiplicamos numerador e denominador pela conjugada do numerador, que é
. Essa técnica elimina a raiz no numerador usando a identidade
.
Passo 6
Multiplicando por
obtemos:
Simplificando o numerador:
Agora podemos cancelar
(desde que
, o que é OK dentro do limite):
Passo 7
Agora tomamos o limite quando
:
Como a expressão no denominador é contínua em
, podemos substituir
:
Passo 8
Comentário rápido para checar: usando regra da cadeia (apenas como verificação), se
então
. Avaliando em
dá
, que confere com o cálculo pela definição.