Exercício 11. Se operatorname{sen} x=\frac{1}{3} e \operatorname{sec} y=\frac{5}{4}, onde x, y \in[0, \pi / 2], calcule:
(e) \operatorname{sen}(x-y)

Passo 1

O enunciado dá \sin x = \tfrac{1}{3} e \operatorname{sec} y = \tfrac{5}{4} com x,y\in[0,\tfrac\pi2] e pede \sin(x-y). Vamos usar a fórmula de diferença de ângulos
\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y,
logo precisamos encontrar \cos x, \cos y e \sin y.

Passo 2

Como x está no primeiro quadrante,
\cos x = \sqrt{1-\sin^2 x} =\sqrt{1-\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^2} =\sqrt{\tfrac{8}{9}} =\tfrac{2\sqrt{2}}{3}.

Passo 3

De \operatorname{sec} y=\tfrac{5}{4} segue \cos y=\tfrac{1}{\operatorname{sec} y}=\tfrac{4}{5}. Como y também está no primeiro quadrante,
\sin y = \sqrt{1-\cos^2 y} =\sqrt{1-\bigl(\tfrac{4}{5}\bigr)^2} =\sqrt{\tfrac{9}{25}} =\tfrac{3}{5}.

Passo 4

Aplicando a fórmula
\sin(x-y) =\sin x\cos y-\cos x\sin y =\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{4}{5} -\tfrac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\tfrac{3}{5} =\tfrac{4-6\sqrt{2}}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{4-6\sqrt{2}}{15}

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