Exercício 11. Se operatorname{sen} x=\frac{1}{3} e \operatorname{sec} y=\frac{5}{4}, onde x, y \in[0, \pi / 2], calcule:
(f) \cos 2 y

Passo 1

O enunciado dá \operatorname{sec} y = \tfrac{5}{4} com y\in[0,\tfrac{\pi}{2}] e pede \cos 2y. Vamos usar a definição de secante e a identidade de ângulo duplo para cosseno.

Passo 2

Como \operatorname{sec} y = \tfrac{1}{\cos y}, temos
\cos y = \frac{1}{\operatorname{sec} y} = \frac{1}{\tfrac{5}{4}} = \frac{4}{5}.

Passo 3

Usamos a identidade de ângulo duplo:
\cos 2y = 2\cos^2 y - 1.
Substituindo \cos y = \tfrac{4}{5},
\cos 2y = 2\Bigl(\tfrac{4}{5}\Bigr)^2 - 1 = 2\cdot \tfrac{16}{25} - 1 = \tfrac{32}{25} - 1 = \tfrac{7}{25}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{25}

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