Exercício 11: Um pato, enquanto nada, descreve uma circunferência de equações paramétricas
cost
sent.
A temperatura da água é dada pela função
. Determine a expressão da derivada
:
a) Usando a regra da cadeia;
b) Expressando T em função de t e aplicando as regras de derivação.
a) Usando a regra da cadeia;
b) Expressando T em função de t e aplicando as regras de derivação.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma derivada:
- A trajetória do pato é dada pelas equações paramétricas
e . - A temperatura da água é a função de duas variáveis
. - O que nos pedem é a expressão da derivada de
em relação a . Vou interpretar isso como a derivada , e calcular de duas maneiras:
(a) usando a regra da cadeia para funções de várias variáveis;
(b) substituindoe em para obter e diferenciando diretamente.
Todas as informações necessárias aparecem no enunciado (as paramétricas e a expressão de).
Passo 2
Conceito e fórmula da regra da cadeia para funções de duas variáveis (aula rápida):
Se temos uma função e
,
, então a taxa de variação de
em relação a
(ou seja,
) é dada pela regra da cadeia:
Se temos uma função
Explicando as notações:
é a derivada parcial de
em relação a
(tratando
como constante), e
é a derivada da função
. Mesma ideia para
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
:
Derivando em relação a (mantendo
fixo):
Derivando em relação a
Derivando em relação a
(mantendo
fixo):
Aqui usei regras básicas: derivada de
em relação a
é
porque
é constante na parcial; em relação a
aparece
pela derivada de
. Para
a parcial em
é
e em
é
.
Passo 4
Calcular
e
a partir das paramétricas
e
:
Essas são derivadas trigonométricas básicas.
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia substituindo as parciais e
:
Isto é a resposta pela regra da cadeia em termos de
. Para obter só em função de
, substituímos
e
(vou fazer isso explicitamente no Passo 6).
Passo 6
Substituir
e
na expressão da regra da cadeia e simplificar:
Agora
,
, então
Simplificando as potências:
Passo 7
Agora vamos ao método (b): primeiro expressar
como função de
e depois derivar. Substituindo diretamente:
Diferenciamos termo a termo usando regra do produto e cadeia.
Passo a passo do primeiro termo
:
- Seja
e . -
-
(regra da cadeia: derivada de é ). - Pelo produto,
. - Ou seja,
.
Segundo termo
:
- Seja
e . -
. -
(regra da cadeia aplicada a ). - Pelo produto,
. - Simplificando,
.
Somando
obtemos exatamente
que coincide com o resultado obtido pelo método da regra da cadeia.
Resposta
(a)
(b)