Exercício 11: Um pato, enquanto nada, descreve uma circunferência de equações paramétricas \mathrm{x}= cost \mathrm{e} \mathrm{y}= sent.
A temperatura da água é dada pela função \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\mathrm{x}^{2} \mathrm{e}^{\mathrm{y}}-\mathrm{xy}^{3}. Determine a expressão da derivada \mathrm{dt} / \mathrm{dx} :
a) Usando a regra da cadeia;
b) Expressando T em função de t e aplicando as regras de derivação.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma derivada:
  • A trajetória do pato é dada pelas equações paramétricas \mathrm{x}=\cos t e \mathrm{y}=\sin t.
  • A temperatura da água é a função de duas variáveis \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y})=\mathrm{x}^{2}e^{\mathrm{y}}-\mathrm{x}\mathrm{y}^{3}.
  • O que nos pedem é a expressão da derivada de \mathrm{T} em relação a t. Vou interpretar isso como a derivada \dfrac{d\mathrm{T}}{dt}, e calcular de duas maneiras:
    (a) usando a regra da cadeia para funções de várias variáveis;
    (b) substituindo \mathrm{x}=\cos t e \mathrm{y}=\sin t em \mathrm{T} para obter \mathrm{T}(t) e diferenciando diretamente.
    Todas as informações necessárias aparecem no enunciado (as paramétricas e a expressão de \mathrm{T}).

Passo 2

Conceito e fórmula da regra da cadeia para funções de duas variáveis (aula rápida):
Se temos uma função \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y}) e \mathrm{x}=\mathrm{x}(t), \mathrm{y}=\mathrm{y}(t), então a taxa de variação de \mathrm{T} em relação a t (ou seja, \dfrac{d\mathrm{T}}{dt}) é dada pela regra da cadeia:
\dfrac{d\mathrm{T}}{dt}=\dfrac{\partial \mathrm{T}}{\partial \mathrm{x}}\cdot\dfrac{d\mathrm{x}}{dt}+\dfrac{\partial \mathrm{T}}{\partial \mathrm{y}}\cdot\dfrac{d\mathrm{y}}{dt}.
Explicando as notações: \dfrac{\partial \mathrm{T}}{\partial \mathrm{x}} é a derivada parcial de \mathrm{T} em relação a \mathrm{x} (tratando \mathrm{y} como constante), e \dfrac{d\mathrm{x}}{dt} é a derivada da função \mathrm{x}(t). Mesma ideia para \mathrm{y}.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y})=\mathrm{x}^{2}e^{\mathrm{y}}-\mathrm{x}\mathrm{y}^{3}:
Derivando em relação a \mathrm{x} (mantendo \mathrm{y} fixo):
\dfrac{\partial \mathrm{T}}{\partial \mathrm{x}}=2\mathrm{x}e^{\mathrm{y}}-\mathrm{y}^{3}.
Derivando em relação a \mathrm{y} (mantendo \mathrm{x} fixo):
\dfrac{\partial \mathrm{T}}{\partial \mathrm{y}}=\mathrm{x}^{2}e^{\mathrm{y}}-3\mathrm{x}\mathrm{y}^{2}.
Aqui usei regras básicas: derivada de \mathrm{x}^{2}e^{\mathrm{y}} em relação a \mathrm{x} é 2\mathrm{x}e^{\mathrm{y}} porque e^{\mathrm{y}} é constante na parcial; em relação a \mathrm{y} aparece e^{\mathrm{y}} pela derivada de e^{\mathrm{y}}. Para -\mathrm{x}\mathrm{y}^{3} a parcial em \mathrm{x} é -\mathrm{y}^{3} e em \mathrm{y} é -3\mathrm{x}\mathrm{y}^{2}.

Passo 4

Calcular \dfrac{d\mathrm{x}}{dt} e \dfrac{d\mathrm{y}}{dt} a partir das paramétricas \mathrm{x}=\cos t e \mathrm{y}=\sin t:
\dfrac{d\mathrm{x}}{dt}=\dfrac{d}{dt}(\cos t)=-\sin t,
\dfrac{d\mathrm{y}}{dt}=\dfrac{d}{dt}(\sin t)=\cos t.
Essas são derivadas trigonométricas básicas.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia substituindo as parciais e \dfrac{d\mathrm{x}}{dt},\dfrac{d\mathrm{y}}{dt}:
\dfrac{d\mathrm{T}}{dt}=\bigl(2\mathrm{x}e^{\mathrm{y}}-\mathrm{y}^{3}\bigr)\cdot(-\sin t)+\bigl(\mathrm{x}^{2}e^{\mathrm{y}}-3\mathrm{x}\mathrm{y}^{2}\bigr)\cdot(\cos t).
Isto é a resposta pela regra da cadeia em termos de \mathrm{x},\mathrm{y},t. Para obter só em função de t, substituímos \mathrm{x}=\cos t e \mathrm{y}=\sin t (vou fazer isso explicitamente no Passo 6).

Passo 6

Substituir \mathrm{x}=\cos t e \mathrm{y}=\sin t na expressão da regra da cadeia e simplificar:
\dfrac{d\mathrm{T}}{dt}= -2\mathrm{x}e^{\mathrm{y}}\sin t + \mathrm{y}^{3}\sin t + \mathrm{x}^{2}e^{\mathrm{y}}\cos t -3\mathrm{x}\mathrm{y}^{2}\cos t.
Agora \mathrm{x}=\cos t, \mathrm{y}=\sin t, então
\dfrac{d\mathrm{T}}{dt}= -2\cos t\,e^{\sin t}\sin t + \sin^{3}t\cdot\sin t + \cos^{2}t\,e^{\sin t}\cos t -3\cos t\,\sin^{2}t\cos t.
Simplificando as potências:
\dfrac{d\mathrm{T}}{dt}=e^{\sin t}\bigl(\cos^{3}t-2\cos t\sin t\bigr)+\sin^{4}t-3\cos^{2}t\sin^{2}t.

Passo 7

Agora vamos ao método (b): primeiro expressar \mathrm{T} como função de t e depois derivar. Substituindo diretamente:
\mathrm{T}(t)=\cos^{2}t\,e^{\sin t}-\cos t\,\sin^{3}t.
Diferenciamos termo a termo usando regra do produto e cadeia.
Passo a passo do primeiro termo f(t)=\cos^{2}t\,e^{\sin t}:
  • Seja u(t)=\cos^{2}t e v(t)=e^{\sin t}.
  • u'(t)=2\cos t\cdot(-\sin t)=-2\cos t\sin t.
  • v'(t)=e^{\sin t}\cdot\cos t (regra da cadeia: derivada de e^{\sin t} é e^{\sin t}\cdot(\cos t)).
  • Pelo produto, f'(t)=u'v+uv' = -2\cos t\sin t\,e^{\sin t} + \cos^{2}t\,e^{\sin t}\cos t.
  • Ou seja, f'(t)=e^{\sin t}\bigl(\cos^{3}t-2\cos t\sin t\bigr).
Segundo termo g(t)=-\cos t\,\sin^{3}t:
  • Seja p(t)=-\cos t e q(t)=\sin^{3}t.
  • p'(t)=\sin t.
  • q'(t)=3\sin^{2}t\cos t (regra da cadeia aplicada a \sin^{3}t).
  • Pelo produto, g'(t)=p'q+pq'=\sin t\cdot\sin^{3}t + (-\cos t)\cdot 3\sin^{2}t\cos t.
  • Simplificando, g'(t)=\sin^{4}t-3\cos^{2}t\sin^{2}t.
Somando f'(t)+g'(t) obtemos exatamente
\dfrac{d\mathrm{T}}{dt}=e^{\sin t}\bigl(\cos^{3}t-2\cos t\sin t\bigr)+\sin^{4}t-3\cos^{2}t\sin^{2}t,
que coincide com o resultado obtido pelo método da regra da cadeia.

Resposta

(a) \dfrac{d\mathrm{T}}{dt}=\bigl(2\mathrm{x}e^{\mathrm{y}}-\mathrm{y}^{3}\bigr)(-\sin t)+\bigl(\mathrm{x}^{2}e^{\mathrm{y}}-3\mathrm{x}\mathrm{y}^{2}\bigr)\cos t
(b) \dfrac{d\mathrm{T}}{dt}=e^{\sin t}\bigl(\cos^{3}t-2\cos t\sin t\bigr)+\sin^{4}t-3\cos^{2}t\sin^{2}t