Exercício 12. Em cada caso, calcule o limite infinito.
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{x}-\ln x\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{1}{x}-\ln x\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A variável tende para a direita de zero: x\to 0^{+}.
  • Quando x\to 0^{+}, tem-se \dfrac{1}{x}\to +\infty.
  • Quando x\to 0^{+}, tem-se \ln x\to -\infty.
    A pergunta é: qual é o comportamento do diferencial \dfrac{1}{x}-\ln x quando x se aproxima de 0 pela direita?

Passo 2

Escolha do método: uma forma clara e direta é fazer a substituição inversora \,t=\dfrac{1}{x}\,. Essa troca transforma o limite na vizinhança de x=0^{+} em um limite quando t\to+\infty, onde é mais fácil comparar as grandezas. Também vamos, se necessário, justificar por comparação de taxas de crescimento (que função cresce mais rápido: t ou \ln t?).

Passo 3

Fazer a substituição t=\dfrac{1}{x}. Quando x\to 0^{+} temos t\to +\infty. Reescrevendo a expressão em t:
\frac{1}{x}-\ln x = t - \ln\!\left(\frac{1}{t}\right).
Usando \ln\!\left(\frac{1}{t}\right)=-\ln t, obtemos
\frac{1}{x}-\ln x = t + \ln t.

Passo 4

Analisar o limite quando t\to +\infty da expressão obtida:
\lim_{t\to+\infty} \big(t+\ln t\big).
Para t\ge 1 temos \ln t\ge 0, então t+\ln t \ge t. Como \lim_{t\to+\infty} t = +\infty, pela desigualdade segue que
\lim_{t\to+\infty} \big(t+\ln t\big) = +\infty.
Portanto o limite original diverge para +\infty.

Passo 5

Comentário didático (comparação de taxas de crescimento): outra maneira de ver o mesmo resultado é notar que \ln x é negligenciável frente a \dfrac{1}{x} quando x\to 0^{+}. Escrevendo
\frac{1}{x}-\ln x = \frac{1}{x}\big(1 - x\ln x\big),
basta observar que \lim_{x\to 0^{+}} x\ln x = 0 (por exemplo, fazendo x=e^{-u} com u\to+\infty x\ln x = -u e^{-u}\to 0, ou usando \lim_{t\to+\infty}\dfrac{\ln t}{t}=0 por l’Hôpital). Assim o fator (1-x\ln x) tende para 1 e o comportamento é dominado por \dfrac{1}{x}\to +\infty, confirmando que o limite é +\infty.

Resposta

+\infty