Exercício 12. Em cada caso, calcule o limite infinito.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A variável tende para a direita de zero:
. - Quando
, tem-se . - Quando
, tem-se .
A pergunta é: qual é o comportamento do diferencialquando se aproxima de pela direita?
Passo 2
Escolha do método: uma forma clara e direta é fazer a substituição inversora
. Essa troca transforma o limite na vizinhança de
em um limite quando
, onde é mais fácil comparar as grandezas. Também vamos, se necessário, justificar por comparação de taxas de crescimento (que função cresce mais rápido:
ou
?).
Passo 3
Fazer a substituição
. Quando
temos
. Reescrevendo a expressão em
:
Usando
, obtemos
Passo 4
Analisar o limite quando
da expressão obtida:
Para
temos
, então
. Como
, pela desigualdade segue que
Portanto o limite original diverge para
.
Passo 5
Comentário didático (comparação de taxas de crescimento): outra maneira de ver o mesmo resultado é notar que
é negligenciável frente a
quando
. Escrevendo
basta observar que
(por exemplo, fazendo
com
dá
, ou usando
por l’Hôpital). Assim o fator
tende para
e o comportamento é dominado por
, confirmando que o limite é
.