Exercício 12. Calcule detalhadamente cada limite a seguir, se existir. Caso contrário, explique por que ele não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}} \operatorname{sen}(x y)

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}\operatorname{sen}(x y).
Informações dadas:
  • A função a ser analisada é f(x,y)=\dfrac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}\operatorname{sen}(x y).
  • O ponto de interesse é (x,y)\to(0,0).
    O que se pede: calcular o limite quando (x,y) se aproxima de (0,0); se o limite existir, obter seu valor; se não existir, explicar por que não existe.

Passo 2

Estratégia (explicada de forma didática): uma boa maneira de atacar limites em várias variáveis é tentar dominar o módulo da função por uma quantidade que dependa apenas da distância ao ponto (0,0). Se conseguirmos mostrar que |f(x,y)| fica menor que uma função de r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} que tende a zero quando r\to0, então pelo Teorema do Aperto (squeeze theorem) o limite será zero. Para isso usaremos duas ideias simples e conhecidas:
  • A desigualdade elementar para seno: para todo u\in\mathbb{R} vale |\sin u|\le |u|.
  • A notação r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, e as consequências óbvias |x|\le r e |y|\le r.
Vou aplicar essas ideias passo a passo.

Passo 3

Primeiro escrevo o módulo da função e uso a desigualdade para o seno:
\left|\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}\operatorname{sen}(x y)\right| \le \frac{|x|^{3}}{x^{2}+y^{2}}\;|\operatorname{sen}(x y)| \le \frac{|x|^{3}}{x^{2}+y^{2}}\;|x y|.
A segunda desigualdade usa |\sin u|\le|u| com u=xy.
Agora simplifico o produto:
\frac{|x|^{3}}{x^{2}+y^{2}}\;|x y| = \frac{|x|^{4}\,|y|}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Introduzo r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Então x^{2}+y^{2}=r^{2} e |x|\le r,\;|y|\le r. Usando essas desigualdades obtenho uma estimativa simples e útil:
\frac{|x|^{4}\,|y|}{x^{2}+y^{2}} \le \frac{r^{4}\cdot r}{r^{2}}=r^{3}.
Portanto, para todo (x,y)\neq(0,0) vale
\left|\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}\operatorname{sen}(x y)\right|\le r^{3}, \qquad\text{onde }r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Aperto: como 0\le \left|\dfrac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}\operatorname{sen}(x y)\right|\le r^{3} e \lim_{r\to0} r^{3}=0, segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}\operatorname{sen}(x y)=0.
Se preferir ver a prova no estilo \varepsilon- \delta: dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon^{1/3}. Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então r^{3}<\delta^{3}=\varepsilon e assim o módulo da função fica menor que \varepsilon; isso mostra diretamente a definição de limite.

Resposta

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