Exercício 12. Calcule detalhadamente cada limite a seguir, se existir. Caso contrário, explique por que ele não existe. \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}} \operatorname{sen}(x y)
A função a ser analisada é f(x,y)=\dfrac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}\operatorname{sen}(x y).
O ponto de interesse é (x,y)\to(0,0).
O que se pede: calcular o limite quando (x,y) se aproxima de (0,0); se o limite existir, obter seu valor; se não existir, explicar por que não existe.
Passo 2
Estratégia (explicada de forma didática): uma boa maneira de atacar limites em várias variáveis é tentar dominar o módulo da função por uma quantidade que dependa apenas da distância ao ponto (0,0). Se conseguirmos mostrar que |f(x,y)| fica menor que uma função de r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} que tende a zero quando r\to0, então pelo Teorema do Aperto (squeeze theorem) o limite será zero. Para isso usaremos duas ideias simples e conhecidas:
A desigualdade elementar para seno: para todo u\in\mathbb{R} vale |\sin u|\le |u|.
A notação r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, e as consequências óbvias |x|\le r e |y|\le r.
Vou aplicar essas ideias passo a passo.
Passo 3
Primeiro escrevo o módulo da função e uso a desigualdade para o seno:
Se preferir ver a prova no estilo \varepsilon-\delta: dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon^{1/3}. Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então r^{3}<\delta^{3}=\varepsilon e assim o módulo da função fica menor que \varepsilon; isso mostra diretamente a definição de limite.