Exercício 13. Em cada parte, discuta como o posto de A varia com t :
A=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & t \\\\ 1 & t & 1 \\\ t & 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: discutir como o posto da matriz A varia com o parâmetro t. A matriz dada é
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & t\\[4pt] 1 & t & 1\\[4pt] t & 1 & 1\end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas: os elementos de A dependem linearmente de t. A pergunta é, para cada valor de t, qual é \operatorname{rank}(A).]

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): para uma matriz quadrada 3\times3,
\operatorname{rank}(A)=3 \quad\Longleftrightarrow\quad \det(A)\neq0.
Se \det(A)=0, então \operatorname{rank}(A)\le 2. Portanto, primeiro vamos calcular \det(A) como função de t; as raízes dessa função são os valores de t em que o posto pode cair (de 3 para um valor menor). Depois trataremos cada caso especial para decidir se o posto é 2 ou 1.

Passo 3

Vou calcular \det(A) expandindo pela primeira linha. Temos
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}t & 1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] t & 1\end{pmatrix} +t\cdot\det\begin{pmatrix}1 & t\\[4pt] t & 1\end{pmatrix}.
Calcule cada menor:
\det\begin{pmatrix}t & 1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}=t-1, \qquad \det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] t & 1\end{pmatrix}=1-t, \qquad \det\begin{pmatrix}1 & t\\[4pt] t & 1\end{pmatrix}=1-t^2.
Substituindo,
\det(A)=(t-1)-(1-t)+t(1-t^2).
Simplificando os dois primeiros termos (t-1)-(1-t)=2(t-1), obtemos
\det(A)=2(t-1)+t(1-t^2)=2t-2+t-t^3=3t-2-t^3.
Fatorando o polinômio cúbico, note que t=1 anula \det(A). Fazendo divisão por (t-1) obtemos
\det(A)=-(t-1)^2(t+2).
Logo as raízes são t=1 (raiz dupla) e t=-2.]

Passo 4

Implicação imediata: se t\neq1 e t\neq-2, então \det(A)\neq0, portanto
\operatorname{rank}(A)=3\quad\text{para}\quad t\neq1,\,-2.
Agora precisamos analisar os casos t=1 e t=-2 separadamente para decidir se o posto cai para 2 ou para 1.

Passo 5

Caso t=1. Substituindo em A obtemos a matriz
A\big|_{t=1}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1\end{pmatrix}.
Observação didática: todas as linhas (e colunas) são idênticas e não nulas. Isso significa que as três linhas geram o mesmo subespaço unidimensional. Portanto o espaço das linhas tem dimensão 1, logo
\operatorname{rank}(A)=1\quad\text{quando}\quad t=1.
(Outra maneira de ver: duas diferenças de linhas dão zero, então só há uma linha independente.)]

Passo 6

Caso t=-2. Substituindo em A obtemos
A\big|_{t=-2}=\begin{pmatrix}1 & 1 & -2\\[4pt] 1 & -2 & 1\\[4pt] -2 & 1 & 1\end{pmatrix}.
Propriedade útil: a soma das três linhas é o vetor nulo:
\begin{pmatrix}1&1&-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&-2&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2&1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\end{pmatrix},
logo as três linhas são linearmente dependentes e \operatorname{rank}(A)\le 2. Para decidir se o posto é 1 ou 2, verificamos se existem duas linhas independentes. Considere o menor 2\times2 formado pelas duas primeiras linhas e duas primeiras colunas:
\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & -2\end{pmatrix},
cuj o determinante é 1\cdot(-2)-1\cdot1=-3\neq0. Um menor 2\times2 não nulo implica que há pelo menos duas linhas (ou colunas) linearmente independentes, portanto
\operatorname{rank}(A)=2\quad\text{quando}\quad t=-2.]

Passo 7

Resumo e interpretação: para t genérico (não fazendo o polinômio nulo) a matriz é invertível e tem posto 3; nos valores em que o determinante some, precisamos checar dependências lineares explícitas para distinguir posto 2 de posto 1 — fizemos isso nos casos t=1 e t=-2.

Resposta

\operatorname{rank}(A)=3 para t\neq1,-2.
\operatorname{rank}(A)=1 para t=1.
\operatorname{rank}(A)=2 para t=-2.