Exercício 13. Em cada parte, discuta como o posto de A varia com t : A=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & t \\\\ 1 & t & 1 \\\ t & 1 & 1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede: discutir como o posto da matriz A varia com o parâmetro t. A matriz dada é
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & t\\[4pt] 1 & t & 1\\[4pt] t & 1 & 1\end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas: os elementos de A dependem linearmente de t. A pergunta é, para cada valor de t, qual é \operatorname{rank}(A).]
Passo 2
Conceito importante (aula rápida): para uma matriz quadrada 3\times3,
Se \det(A)=0, então \operatorname{rank}(A)\le 2. Portanto, primeiro vamos calcular \det(A) como função de t; as raízes dessa função são os valores de t em que o posto pode cair (de 3 para um valor menor). Depois trataremos cada caso especial para decidir se o posto é 2 ou 1.
Passo 3
Vou calcular \det(A) expandindo pela primeira linha. Temos
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}t & 1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] t & 1\end{pmatrix} +t\cdot\det\begin{pmatrix}1 & t\\[4pt] t & 1\end{pmatrix}.
Calcule cada menor:
\det\begin{pmatrix}t & 1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}=t-1, \qquad \det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] t & 1\end{pmatrix}=1-t, \qquad \det\begin{pmatrix}1 & t\\[4pt] t & 1\end{pmatrix}=1-t^2.
Substituindo,
\det(A)=(t-1)-(1-t)+t(1-t^2).
Simplificando os dois primeiros termos (t-1)-(1-t)=2(t-1), obtemos
\det(A)=2(t-1)+t(1-t^2)=2t-2+t-t^3=3t-2-t^3.
Fatorando o polinômio cúbico, note que t=1 anula \det(A). Fazendo divisão por (t-1) obtemos
\det(A)=-(t-1)^2(t+2).
Logo as raízes são t=1 (raiz dupla) e t=-2.]
Passo 4
Implicação imediata: se t\neq1 e t\neq-2, então \det(A)\neq0, portanto
Observação didática: todas as linhas (e colunas) são idênticas e não nulas. Isso significa que as três linhas geram o mesmo subespaço unidimensional. Portanto o espaço das linhas tem dimensão 1, logo
logo as três linhas são linearmente dependentes e \operatorname{rank}(A)\le 2. Para decidir se o posto é 1 ou 2, verificamos se existem duas linhas independentes. Considere o menor 2\times2 formado pelas duas primeiras linhas e duas primeiras colunas:
\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & -2\end{pmatrix},
cuj o determinante é 1\cdot(-2)-1\cdot1=-3\neq0. Um menor 2\times2 não nulo implica que há pelo menos duas linhas (ou colunas) linearmente independentes, portanto
Resumo e interpretação: para t genérico (não fazendo o polinômio nulo) a matriz é invertível e tem posto 3; nos valores em que o determinante some, precisamos checar dependências lineares explícitas para distinguir posto 2 de posto 1 — fizemos isso nos casos t=1 e t=-2.
Resposta
\operatorname{rank}(A)=3 para t\neq1,-2. \operatorname{rank}(A)=1 para t=1. \operatorname{rank}(A)=2 para t=-2.