Exercício 13. Lei de Gauss para o Campo Magnético em meios materiais.
a) Qual é a forma da Lei de Gauss para o Campo Magnético em meios materiais?
Ela difere da forma no espaço livre, e por quê?
b) Discuta a implicação da inexistência de monopolos magnéticos para a formação de campos magnéticos em materiais ferromagnéticos.
c) Um campo de densidade de fluxo magnético em um material com \mu_{r}=100 é \mathbf{B}=\left(2 \sin x \mathbf{a}_{ \mathbf{x}}+3 \cos y \mathbf{a}_{ \mathbf{y}}+4 z \mathbf{a}_{ \mathbf{z}}\right) T. Calcule a divergência de B.
d) Determine a permeabilidade absoluta \mu do material do item (c).

Passo 1

O exercício 13 trata da Lei de Gauss para o campo magnético em meios materiais, da ausência de monopolos magnéticos e do cálculo de divergência de um campo \mathbf{B} num material com permeabilidade relativa \mu_{r}. Para resolver vamos usar:
– As leis de Maxwell em meios materiais, em particular \nabla\!\cdot\!\mathbf{B} e \nabla\!\cdot\!\mathbf{H};
– O conceito de magnetização \mathbf{M} e de “cargas magnéticas ligadas”;
– A relação \mathbf{B}=\mu\,\mathbf{H} com \mu=\mu_{r}\mu_{0};
– O operador divergência para vetores dados componente a componente.

Passo 2

a) A forma geral da Lei de Gauss para o campo magnético em qualquer meio é
\oint_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \nabla\!\cdot\!\mathbf{B}=0.
Em espaço livre (vácuo) essa lei tem exatamente a mesma forma, porque decorre da inexistência de monopolos magnéticos fundamentais.
Em meios materiais costuma-se ainda escrever a forma para o campo \mathbf{H}:
\nabla\!\cdot\!\mathbf{H}=-\,\nabla\!\cdot\!\mathbf{M}\;=\;\rho_{m,\text{lig}},
onde \rho_{m,\text{lig}} é a densidade de “carga magnética ligada” associada à magnetização \mathbf{M}. Essa segunda expressão difere da do vácuo apenas porque o material responde com uma magnetização que simula cargas magnéticas internas, mas a lei fundamental \nabla\!\cdot\!\mathbf{B}=0 permanece inalterada.

Passo 3

b) A inexistência de monopolos magnéticos livres implica que todo campo \mathbf{B} em um ferromagnético deve surgir de correntes elétricas em escala atômica (momentos magnéticos dos elétrons) e não de “cargas magnéticas” isoladas. A atração ou repulsão entre regiões magnetizadas vem do alinhamento de correntes de spin e órbita, e nunca de monopolos livres. Nas teorias clássicas introduzimos cargas magnéticas ligadas \rho_{m,\text{lig}}=-\nabla\!\cdot\!\mathbf{M}, mas são entidades eficazes que modelam o efeito agregado da magnetização, não monopolos fundamentais.

Passo 4

c) Dado
\mathbf{B}(x,y,z) =2\,\sin x\,\mathbf{a}_{x} +3\,\cos y\,\mathbf{a}_{y} +4\,z\,\mathbf{a}_{z},
a divergência é
\nabla\!\cdot\!\mathbf{B} =\frac{\partial}{\partial x}(2\sin x) +\frac{\partial}{\partial y}(3\cos y) +\frac{\partial}{\partial z}(4z) =2\cos x-3\sin y+4.

Passo 5

d) A permeabilidade absoluta do material é
\mu=\mu_{r}\,\mu_{0} =100\times4\pi\times10^{-7}\,\text{H/m} =4\pi\times10^{-5}\,\text{H/m} \approx1{,}26\times10^{-4}\,\text{H/m}.

Resposta

a)
\oint_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \nabla\!\cdot\!\mathbf{B}=0.
Não difere do vácuo porque \nabla\!\cdot\!\mathbf{B}=0 segue da ausência de monopolos fundamentais. Para \mathbf{H} aparece adicionalmente \nabla\!\cdot\!\mathbf{H}=-\nabla\!\cdot\!\mathbf{M}.
b)
Sem monopolos magnéticos livres, os campos em ferromagnéticos vêm dos momentos magnéticos dos elétrons (correntes atômicas). As “cargas magnéticas ligadas” são apenas modelos eficazes, não monopolos reais.
c)
\nabla\!\cdot\!\mathbf{B} =2\cos x-3\sin y+4.
d)
\mu=100\times4\pi\times10^{-7}\,\text{H/m} =4\pi\times10^{-5}\,\text{H/m} \approx1{,}26\times10^{-4}\,\text{H/m}.

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