Exercício 12. Lei de Gauss para o Campo Elétrico em meios dielétricos.
a) Explique como a polarização de um dielétrico afeta a Lei de Gauss para o Campo Elétrico, levando à introdução da densidade de fluxo elétrico \mathbf{D}.
b) Por que a Lei de Gauss é frequentemente preferida à Lei de Coulomb para resolver problemas eletrostáticos em meios complexos ou com distribuições de carga contínuas?
c) Uma região dielétrica tem \epsilon_{r}=6. Se a densidade de fluxo elétrico é \mathbf{D}= ( 5 \mathbf{a}_{ \mathbf{x}}-2 \mathbf{a}_{ \mathbf{y}}+3 \mathbf{a}_{ \mathbf{z}} ) \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2}, calcule o campo elétrico \mathbf{E} nesse ponto.
d) Se a densidade de carga volumétrica em um dielétrico é \rho_{v}=10 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{3} e o campo elétrico é uniforme, determine a divergência de \mathbf{D}.

Passo 1

O enunciado trata da Lei de Gauss em meios dielétricos, que envolve a polarização do material e a definição do vetor densidade de fluxo elétrico \mathbf{D}. Vamos precisar de:
– A relação entre campo elétrico \mathbf{E}, polarização \mathbf{P} e \mathbf{D},
– A forma diferencial da Lei de Gauss para \mathbf{D},
– A relação entre permissividade do meio \epsilon=\epsilon_0\epsilon_r e o cálculo de \mathbf{E} a partir de \mathbf{D}.

Passo 2

A polarização de um dielétrico cria cargas ligadas no seu interior, de modo que a carga total numa região é a soma das cargas livres e das ligadas. Se aplicássemos diretamente a Lei de Gauss a \mathbf{E}, teríamos
\nabla\!\cdot(\epsilon_0\mathbf{E}) = \rho_{\text{livre}} + \rho_{\text{ligada}}.
Para separar as contribuições e trabalhar apenas com a carga livre, define-se
\mathbf{D} = \epsilon_0\,\mathbf{E} + \mathbf{P}.
Com isso a Lei de Gauss fica
\nabla\!\cdot\mathbf{D} = \rho_{\text{livre}},
ou seja, \mathbf{D} já “absorve” o efeito da polarização \mathbf{P} e simplifica a contagem de carga livre.

Passo 3

A Lei de Gauss em forma diferencial \nabla\!\cdot\mathbf{D}=\rho_{\text{livre}} é preferida em meios complexos ou com distribuições contínuas porque:
– Ela é local: relaciona o divergente de \mathbf{D} ao valor pontual de carga livre, sem precisar integrar em toda a região.
– Evita o cálculo explícito das cargas ligadas (superficiais e volumétricas), que pode ser muito trabalhoso em meios não homogêneos.
– Permite usar simetrias e condições de contorno para resolver \mathbf{E} e \mathbf{D} de forma direta, sem recorrer à Lei de Coulomb (que exige somatórios ou integrais duplos/triplos).

Passo 4

A região dielétrica tem \epsilon_r=6 e \mathbf{D}=(5\,\mathbf{a}_x-2\,\mathbf{a}_y+3\,\mathbf{a}_z)\,\mathrm{nC}/\mathrm{m}^2. Como
\mathbf{D}=\epsilon_0\epsilon_r\,\mathbf{E},
segue que
\mathbf{E}=\frac{\mathbf{D}}{\epsilon_0\epsilon_r}.
Convertendo unidades e substituindo \epsilon_0=8{,}854\times10^{-12}\,\mathrm{F}/\mathrm{m}:
\mathbf{E} =\frac{1}{6\cdot8{,}854\times10^{-12}} \bigl(5\times10^{-9}\mathbf{a}_x-2\times10^{-9}\mathbf{a}_y+3\times10^{-9}\mathbf{a}_z\bigr)\,\mathrm{V}/\mathrm{m}.
Logo, numericamente,
\mathbf{E}\approx(94{,}1\,\mathbf{a}_x-37{,}6\,\mathbf{a}_y+56{,}5\,\mathbf{a}_z)\,\mathrm{V}/\mathrm{m}.

Passo 5

Se a densidade de carga volumétrica livre é \rho_v=10\,\mathrm{nC}/\mathrm{m}^3, a forma diferencial da Lei de Gauss em dielétricos dá
\nabla\!\cdot\mathbf{D}=\rho_{\text{livre}}=\rho_v=10\times10^{-9}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}^3.

Resposta

a) A polarização \mathbf{P} gera cargas ligadas internas; definindo \mathbf{D}=\epsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P} transfere-se o efeito dessas cargas para \mathbf{D}, de modo que \nabla\!\cdot\mathbf{D}=\rho_{\text{livre}}.
b) Porque \nabla\!\cdot\mathbf{D}=\rho_{\text{livre}} é uma lei local e evita o cálculo das cargas ligadas, facilitando o uso de simetrias e condições de contorno em meios contínuos ou complexos.
c) \displaystyle \mathbf{E}\approx(94{,}1\,\mathbf{a}_x-37{,}6\,\mathbf{a}_y+56{,}5\,\mathbf{a}_z)\,\mathrm{V}/\mathrm{m}.
d) \displaystyle \nabla\!\cdot\mathbf{D}=10\times10^{-9}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}^3.

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