Exercício 12. Lei de Gauss para o Campo Elétrico em meios dielétricos.
a) Explique como a polarização de um dielétrico afeta a Lei de Gauss para o Campo Elétrico, levando à introdução da densidade de fluxo elétrico
.
b) Por que a Lei de Gauss é frequentemente preferida à Lei de Coulomb para resolver problemas eletrostáticos em meios complexos ou com distribuições de carga contínuas?
c) Uma região dielétrica tem
. Se a densidade de fluxo elétrico é
(
)
, calcule o campo elétrico
nesse ponto.
d) Se a densidade de carga volumétrica em um dielétrico é
e o campo elétrico é uniforme, determine a divergência de
.
a) Explique como a polarização de um dielétrico afeta a Lei de Gauss para o Campo Elétrico, levando à introdução da densidade de fluxo elétrico
b) Por que a Lei de Gauss é frequentemente preferida à Lei de Coulomb para resolver problemas eletrostáticos em meios complexos ou com distribuições de carga contínuas?
c) Uma região dielétrica tem
d) Se a densidade de carga volumétrica em um dielétrico é
Passo 1
O enunciado trata da Lei de Gauss em meios dielétricos, que envolve a polarização do material e a definição do vetor densidade de fluxo elétrico
. Vamos precisar de:
– A relação entre campo elétrico , polarização
e
,
– A forma diferencial da Lei de Gauss para ,
– A relação entre permissividade do meio e o cálculo de
a partir de
.
– A relação entre campo elétrico
– A forma diferencial da Lei de Gauss para
– A relação entre permissividade do meio
Passo 2
A polarização de um dielétrico cria cargas ligadas no seu interior, de modo que a carga total numa região é a soma das cargas livres e das ligadas. Se aplicássemos diretamente a Lei de Gauss a
, teríamos
Para separar as contribuições e trabalhar apenas com a carga livre, define-se
Com isso a Lei de Gauss fica
ou seja,
já “absorve” o efeito da polarização
e simplifica a contagem de carga livre.
Passo 3
A Lei de Gauss em forma diferencial
é preferida em meios complexos ou com distribuições contínuas porque:
– Ela é local: relaciona o divergente de ao valor pontual de carga livre, sem precisar integrar em toda a região.
– Evita o cálculo explícito das cargas ligadas (superficiais e volumétricas), que pode ser muito trabalhoso em meios não homogêneos.
– Permite usar simetrias e condições de contorno para resolver e
de forma direta, sem recorrer à Lei de Coulomb (que exige somatórios ou integrais duplos/triplos).
– Ela é local: relaciona o divergente de
– Evita o cálculo explícito das cargas ligadas (superficiais e volumétricas), que pode ser muito trabalhoso em meios não homogêneos.
– Permite usar simetrias e condições de contorno para resolver
Passo 4
A região dielétrica tem
e
. Como
segue que
Convertendo unidades e substituindo
:
Logo, numericamente,
Passo 5
Se a densidade de carga volumétrica livre é
, a forma diferencial da Lei de Gauss em dielétricos dá
Resposta
a) A polarização
gera cargas ligadas internas; definindo
transfere-se o efeito dessas cargas para
, de modo que
.
b) Porque é uma lei local e evita o cálculo das cargas ligadas, facilitando o uso de simetrias e condições de contorno em meios contínuos ou complexos.
c)
d)
b) Porque
c)
d)