Exercício 13. Simplifique as seguintes expressões:
\frac{1}{x-y}\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{1}{x-y}\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right).
Informações relevantes dadas (condições onde a expressão faz sentido): x\neq y, x\neq 0 e y\neq 0. Essas restrições vêm dos denominadores x-y, x e y.

Passo 2

Vamos primeiro olhar só para o que está dentro dos parênteses:
\frac{x}{y}-\frac{y}{x}.
Quando temos a diferença de duas frações, o caminho padrão é colocá-las sobre um denominador comum. Aqui o denominador comum é xy.

Passo 3

Colocando sobre o denominador xy calculamos o numerador somando os produtos cruzados:
\frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{x\cdot x - y\cdot y}{xy}=\frac{x^{2}-y^{2}}{xy}.
Explicando: multiplicamos a primeira fração por \dfrac{x}{x} (para achar o denominador comum) e a segunda por \dfrac{y}{y}; o numerador fica x\cdot x - y\cdot y.

Passo 4

Observação importante de fatoração: a diferença de quadrados tem a fórmula
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aplicando com a=x e b=y obtemos
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).

Passo 5

Substituindo essa fatoração na expressão inicial, temos
\frac{1}{x-y}\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right) =\frac{1}{x-y}\cdot\frac{(x-y)(x+y)}{xy}.
Como x-y\neq 0 (lembrando a condição da Passo 1), podemos cancelar o fator (x-y) no numerador com o (x-y) do denominador. Após o cancelamento sobra
\frac{x+y}{xy}.

Passo 6

Podemos reescrever \dfrac{x+y}{xy} somando frações:
\frac{x+y}{xy}=\frac{x}{xy}+\frac{y}{xy}=\frac{1}{y}+\frac{1}{x}.
Portanto formas equivalentes (para x\neq 0, y\neq 0 e x\neq y) são \dfrac{x+y}{xy} ou \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}.

Passo 7

Checagem numérica rápida para ganhar confiança: escolha x=2 e y=1. A expressão original dá
\frac{1}{2-1}\left(\frac{2}{1}-\frac{1}{2}\right)=1\cdot\left(2-\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{3}{2},
e a forma simplificada dá
\frac{2+1}{2\cdot1}=\frac{3}{2}.
Confere — está correta!

Resposta

\frac{x+y}{xy}