Exercício 13. Simplifique as seguintes expressões:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
Informações relevantes dadas (condições onde a expressão faz sentido):
,
e
. Essas restrições vêm dos denominadores
,
e
.
Passo 2
Vamos primeiro olhar só para o que está dentro dos parênteses:
Quando temos a diferença de duas frações, o caminho padrão é colocá-las sobre um denominador comum. Aqui o denominador comum é
.
Passo 3
Colocando sobre o denominador
calculamos o numerador somando os produtos cruzados:
Explicando: multiplicamos a primeira fração por
(para achar o denominador comum) e a segunda por
; o numerador fica
.
Passo 4
Observação importante de fatoração: a diferença de quadrados tem a fórmula
Aplicando com
e
obtemos
Passo 5
Substituindo essa fatoração na expressão inicial, temos
Como
(lembrando a condição da Passo 1), podemos cancelar o fator
no numerador com o
do denominador. Após o cancelamento sobra
Passo 6
Podemos reescrever
somando frações:
Portanto formas equivalentes (para
,
e
) são
ou
.
Passo 7
Checagem numérica rápida para ganhar confiança: escolha
e
. A expressão original dá
e a forma simplificada dá
Confere — está correta!