Exercício 14 Encontre as equações de todas as retas tangentes ao gráfico de f(x)=x^{2} que passam por (1,-1).

Passo 1

O enunciado pede as equações de todas as retas tangentes ao gráfico de f(x)=x^{2} que passam pelo ponto (1,-1).
Conteúdo: usamos derivada para achar inclinação da tangente e equação da reta tangente em um ponto genérico x_{0}.

Passo 2

A derivada de f em x_{0} é
f'(x_{0}) = 2x_{0},
que é a inclinação da reta tangente nesse ponto. A equação da reta tangente em (x_{0},x_{0}^{2}) fica
y - x_{0}^{2} = 2x_{0}\,(x - x_{0}).

Passo 3

Impondo que essa reta passe por (1,-1), substituímos x=1 e y=-1 na equação da tangente:
-1 - x_{0}^{2} = 2x_{0}\,(1 - x_{0}).
Agora expandimos e reorganizamos tudo num único polinômio em x_{0}.

Passo 4

Expandindo e reunindo termos:
-1 - x_{0}^{2} = 2x_{0} - 2x_{0}^{2} \quad\Longrightarrow\quad -1 - x_{0}^{2} - 2x_{0} + 2x_{0}^{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_{0}^{2} - 2x_{0} - 1 = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara em \displaystyle x_{0}^{2} - 2x_{0} - 1 = 0, obtemos
x_{0} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}.

Passo 5

Para cada x_{0} achamos a inclinação m = 2x_{0}. Assim:
- Se x_{0} = 1 + \sqrt{2}, então m = 2 + 2\sqrt{2}.
- Se x_{0} = 1 - \sqrt{2}, então m = 2 - 2\sqrt{2}.
Usamos a forma ponto-inclinação com o ponto (1,-1):
y + 1 = m\,(x - 1).

Resposta

As duas retas são:
y + 1 = (2 + 2\sqrt{2})(x - 1) \quad\text{e}\quad y + 1 = (2 - 2\sqrt{2})(x - 1).

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