Exercício 14 Encontre as equações de todas as retas tangentes ao gráfico de
que passam por
.
Passo 1
O enunciado pede as equações de todas as retas tangentes ao gráfico de
que passam pelo ponto
.
Conteúdo: usamos derivada para achar inclinação da tangente e equação da reta tangente em um ponto genérico .
Conteúdo: usamos derivada para achar inclinação da tangente e equação da reta tangente em um ponto genérico
Passo 2
A derivada de
em
é
que é a inclinação da reta tangente nesse ponto. A equação da reta tangente em
fica
Passo 3
Impondo que essa reta passe por
, substituímos
e
na equação da tangente:
Agora expandimos e reorganizamos tudo num único polinômio em
.
Passo 4
Expandindo e reunindo termos:
Aplicando a fórmula de Bhaskara em
, obtemos
Passo 5
Para cada
achamos a inclinação
. Assim:
- Se , então
.
- Se , então
.
Usamos a forma ponto-inclinação com o ponto :
- Se
- Se
Usamos a forma ponto-inclinação com o ponto
Resposta
As duas retas são: