Exercício 2.14 A função de transferência de um filtro de segunda ordem é dada por:
H(s)=\frac{s^{2}}{s^{2}+141,4 s+10000}
Identifique o tipo de filtro (passa-baixas, passa-altas, passa-faixa ou rejeita-faixa), determine a frequência natural não amortecida \left(\omega_{0}\right) e o fator de amortecimento (\zeta).

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência
H(s)=\frac{s^{2}}{s^{2}+141,4\,s+10000}
e pede três coisas:
  • identificar o tipo de filtro (passa-baixas, passa-altas, passa-faixa ou rejeita-faixa);
  • determinar a frequência natural não amortecida \omega_{0};
  • determinar o fator de amortecimento \zeta.
Informações explícitas que temos do enunciado:
  • Numerador: s^{2}.
  • Denominador: s^{2}+141,4\,s+10000.

Passo 2

Entender o tipo de filtro olhando para o numerador e o comportamento em s=0 (DC) e |s|\to\infty.
  • Avaliar em DC ( s=0):
H(0)=\frac{0^{2}}{0^{2}+141,4\cdot 0+10000}=0.
Logo o ganho em 0 (frequência zero) é nulo — o filtro bloqueia DC.
  • Avaliar para altas frequências ( s\to\infty, mais precisamente |s|\to\infty): os termos de maior ordem dominam, então
H(s)\approx\frac{s^{2}}{s^{2}} \to 1.
Logo para frequências muito altas o ganho tende a 1 (não atenuado).
Interpretação prática: o circuito anula sinais em baixa frequência (inclusive DC) e transmite sinais em altas frequências. Isso caracteriza um filtro passa-altas (high-pass).

Passo 3

Agora determinamos \omega_{0} e \zeta fazendo o casamento do denominador com a forma padrão de um segundo ordem:
A forma canônica do denominador de um sistema de segunda ordem é
s^{2}+2\zeta\omega_{0}s+\omega_{0}^{2}.
Comparando com o denominador dado
s^{2}+141,4\,s+10000,
temos as igualdades termo a termo:
\omega_{0}^{2}=10000, \qquad 2\zeta\omega_{0}=141,4.
Antes de calcular, uma palavrinha didática:
  • \omega_{0} é a frequência natural não amortecida (em rad/s): é a frequência associada ao pólo do sistema quando não há amortecimento.
  • \zeta é o fator de amortecimento adimensional: indica quão amortecida é a resposta (subamortecida se 0<\zeta<1, criticamente amortecida se \zeta=1, sobreamortecida se \zeta>1).

Passo 4

Calcular \omega_{0} a partir de \omega_{0}^{2}=10000:
\omega_{0}=\sqrt{10000}=100\\ \text{rad/s}.
(Expliquei: tirar raiz quadrada de 10000 100 porque 100^{2}=10000.)

Passo 5

Calcular \zeta usando 2\zeta\omega_{0}=141,4. Substituindo \omega_{0}=100,
2\zeta\cdot 100 =141,4 \quad\Rightarrow\quad \zeta=\frac{141,4}{200}.
Fazendo a divisão:
\zeta=0,707.
(Se quiser ver a origem desse número: 141,4/200=0,707. Note que 0,707 é aproximadamente 1/\sqrt{2}\approx0,7071.)

Passo 6

Interpretação rápida dos valores encontrados:
  • Tipo: passa-altas, pois H(0)=0 e H(j\omega)\to 1 para \omega\to\infty.
  • \omega_{0}=100\\ \text{rad/s} é a frequência natural do sistema.
  • \zeta\approx 0,707 indica amortecimento moderado; é muito próximo de 1/\sqrt{2}, que é o valor típico de projeto Butterworth (resposta com amplitude “suavemente plana” na região de passagem no caso de filtros de magnitude maximamente plana).
Força aí — isso é bem típico de filtros de segunda ordem e esses cálculos são diretos: casar com a forma padrão e ler os coeficientes.

Resposta

passa-altas
\omega_{0}=100\\ \text{rad/s}
\zeta=0,707

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