Exercício 2.14 A função de transferência de um filtro de segunda ordem é dada por:
Identifique o tipo de filtro (passa-baixas, passa-altas, passa-faixa ou rejeita-faixa), determine a frequência natural não amortecida
e o fator de amortecimento
.
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência
e pede três coisas:
- identificar o tipo de filtro (passa-baixas, passa-altas, passa-faixa ou rejeita-faixa);
- determinar a frequência natural não amortecida
; - determinar o fator de amortecimento
.
Informações explícitas que temos do enunciado:
- Numerador:
. - Denominador:
.
Passo 2
Entender o tipo de filtro olhando para o numerador e o comportamento em
(DC) e
.
- Avaliar em DC (
):
Logo o ganho em
(frequência zero) é nulo — o filtro bloqueia DC.
- Avaliar para altas frequências (
, mais precisamente ): os termos de maior ordem dominam, então
Logo para frequências muito altas o ganho tende a
(não atenuado).
Interpretação prática: o circuito anula sinais em baixa frequência (inclusive DC) e transmite sinais em altas frequências. Isso caracteriza um filtro passa-altas (high-pass).
Passo 3
Agora determinamos
e
fazendo o casamento do denominador com a forma padrão de um segundo ordem:
A forma canônica do denominador de um sistema de segunda ordem é
Comparando com o denominador dado
temos as igualdades termo a termo:
Antes de calcular, uma palavrinha didática:
-
é a frequência natural não amortecida (em rad/s): é a frequência associada ao pólo do sistema quando não há amortecimento. -
é o fator de amortecimento adimensional: indica quão amortecida é a resposta (subamortecida se , criticamente amortecida se , sobreamortecida se ).
Passo 4
Calcular
a partir de
:
(Expliquei: tirar raiz quadrada de
dá
porque
.)
Passo 5
Calcular
usando
. Substituindo
,
Fazendo a divisão:
(Se quiser ver a origem desse número:
. Note que
é aproximadamente
.)
Passo 6
Interpretação rápida dos valores encontrados:
- Tipo: passa-altas, pois
e para . -
é a frequência natural do sistema. -
indica amortecimento moderado; é muito próximo de , que é o valor típico de projeto Butterworth (resposta com amplitude “suavemente plana” na região de passagem no caso de filtros de magnitude maximamente plana).
Força aí — isso é bem típico de filtros de segunda ordem e esses cálculos são diretos: casar com a forma padrão e ler os coeficientes.
Resposta
passa-altas