Exercício 2.11 Um filtro passa-faixa R L C série possui os seguintes parâmetros: R= 10 \Omega, L=25 m H e C=10 \mu F. Determine a frequência central de ressonância ( \omega_{0} ), o fator de qualidade (Q) e a largura de banda (\mathcal{B}) em rad/s.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (todos os dados numéricos estão no enunciado).
  • Dados:
    • R=10\\ \Omega.
    • L=25\\ \text{mH}=25\times10^{-3}\\ \text{H}.
    • C=10\\ \mu\text{F}=10\times10^{-6}\\ \text{F}.
  • O que o enunciado pede:
    1. Determinar a frequência central de ressonância \omega_{0} (em \text{rad/s}).
    2. Determinar o fator de qualidade Q (adimensional).
    3. Determinar a largura de banda \mathcal{B} (em \text{rad/s}).
A partir daqui vou explicar cada conceito necessário e calcular passo a passo.

Passo 2

Entendendo ressonância em um circuito série RLC e a fórmula de \omega_{0}.
  • Num circuito série, as impedâncias são:
    • Impedância do resistor: Z_R=R.
    • Impedância do indutor: Z_L=j\omega L.
    • Impedância do capacitor: Z_C=\dfrac{1}{j\omega C}=-j\dfrac{1}{\omega C}.
  • A impedância total é
    Z(\omega)=R+j\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right).
    A parte imaginária aqui é a reatância líquida X(\omega)=\omega L-\dfrac{1}{\omega C}.
  • Ressonância ocorre quando a parte imaginária da impedância é zero, ou seja as reatâncias indutiva e capacitiva se cancelam:
    \omega_0 L-\dfrac{1}{\omega_0 C}=0.
    Resolvendo essa equação obtemos a expressão padrão para a frequência angular de ressonância:
    \omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{L\,C}}.
Vou agora aplicar essa fórmula com os valores dados.

Passo 3

Cálculo de \omega_{0} numérico, mostrando cada conta.
  • Primeiro calcular L\cdot C:
    L\,C = \left(25\times10^{-3}\right)\left(10\times10^{-6}\right)=25\cdot10\times10^{-9}=250\times10^{-9}=2{,}5\times10^{-7}.
  • Em seguida a raiz quadrada:
    \sqrt{L\,C}=\sqrt{2{,}5\times10^{-7}}.
    Reescrevendo 2{,}5\times10^{-7}=25\times10^{-8}, tem-se
    \sqrt{2{,}5\times10^{-7}}=\sqrt{25\times10^{-8}}=5\times10^{-4}=0{,}0005.
  • Finalmente
    \omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{L\,C}}=\dfrac{1}{5\times10^{-4}}=2000\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Entendendo o fator de qualidade Q para um circuito série e a fórmula usada.
  • Intuitivamente, Q mede “quão afiada” é a ressonância: quanto maior Q, mais seletivo é o circuito (pico de amplitude mais estreito em frequência).
  • Para um circuito série RLC a definição prática e simples é: Q=\dfrac{\text{reatância (em módulo) no pico}}{\text{resistência}}.âóêNa ressonância a reatância indutiva tem módulo \omega_0 L, logo Q=\dfrac{\omega_0 L}{R}.
  • Essa expressão é equivalente a outras formas; por exemplo usando \omega_0=1/\sqrt{LC} obtém-se também Q=\dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}},que é útil para ver dependência de L, C e R.
Vou calcular Q usando \;Q=\dfrac{\omega_0 L}{R}.

Passo 5

Cálculo numérico de Q, passo a passo.
  • Usando \omega_0=2000\\ \text{rad/s}, L=25\times10^{-3}\\ \text{H} e R=10\\ \Omega, \omega_0 L = 2000\times25\times10^{-3}=2000\times0{,}025=50.
  • Então Q=\dfrac{\omega_0 L}{R}=\dfrac{50}{10}=5.

Passo 6

Entendendo a largura de banda \mathcal{B} e sua relação com \omega_0 e Q.
  • Para um circuito série RLC a largura de banda (definida como a diferença entre as duas frequências onde a potência entregue à resistência é metade do valor em ressonância — as chamadas frequências de meia potência) é dada por \mathcal{B}=\dfrac{\omega_0}{Q}.
  • Há também uma forma direta: \mathcal{B}=\dfrac{R}{L},que resulta da álgebra quando se manipula as equações das frequências de meia potência para o circuito série.
Vou calcular \mathcal{B} por ambas as formas para conferir consistência.

Passo 7

Cálculo numérico da largura de banda \mathcal{B}.
  • Pela relação \mathcal{B}=\dfrac{\omega_0}{Q}:
    \mathcal{B}=\dfrac{2000}{5}=400\\ \text{rad/s}.
  • Pela relação alternativa \mathcal{B}=\dfrac{R}{L}:
    \dfrac{R}{L}=\dfrac{10}{25\times10^{-3}}=\dfrac{10}{0{,}025}=400\\ \text{rad/s}.
    Confere com o valor anterior.

Passo 8

Resumo rápido dos resultados com interpretação curta (para lembrar na prova).
  • Frequência de ressonância \omega_0=2000\\ \text{rad/s}: é a frequência onde as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam e a impedância é puramente resistiva.
  • Fator de qualidade Q=5: indica uma ressonância moderadamente pronunciada.
  • Largura de banda \mathcal{B}=400\\ \text{rad/s}: intervalo de frequências em torno de \omega_0 onde a resposta é significativa; observe que \mathcal{B}=R/L é um jeito rápido de calcular no exame.

Resposta

\omega_{0}=2000\\ \text{rad/s}
Q=5
\mathcal{B}=400\\ \text{rad/s}

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