Exercício 2.11 Um filtro passa-faixa
série possui os seguintes parâmetros:
e
. Determine a frequência central de ressonância (
), o fator de qualidade
e a largura de banda
em rad/s.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (todos os dados numéricos estão no enunciado).
-
Dados:
-
. -
. -
.
-
-
O que o enunciado pede:
- Determinar a frequência central de ressonância
(em ). - Determinar o fator de qualidade
(adimensional). - Determinar a largura de banda
(em ).
- Determinar a frequência central de ressonância
A partir daqui vou explicar cada conceito necessário e calcular passo a passo.
Passo 2
Entendendo ressonância em um circuito série
e a fórmula de
.
-
Num circuito série, as impedâncias são:
- Impedância do resistor:
. - Impedância do indutor:
. - Impedância do capacitor:
.
- Impedância do resistor:
-
A impedância total éA parte imaginária aqui é a reatância líquida
. -
Ressonância ocorre quando a parte imaginária da impedância é zero, ou seja as reatâncias indutiva e capacitiva se cancelam:Resolvendo essa equação obtemos a expressão padrão para a frequência angular de ressonância:
Vou agora aplicar essa fórmula com os valores dados.
Passo 3
Cálculo de
numérico, mostrando cada conta.
-
Primeiro calcular
: -
Em seguida a raiz quadrada:Reescrevendo
, tem-se -
Finalmente
Passo 4
Entendendo o fator de qualidade
para um circuito série e a fórmula usada.
- Intuitivamente,
mede “quão afiada” é a ressonância: quanto maior , mais seletivo é o circuito (pico de amplitude mais estreito em frequência). - Para um circuito série
a definição prática e simples é: Na ressonância a reatância indutiva tem módulo , logo - Essa expressão é equivalente a outras formas; por exemplo usando
obtém-se também que é útil para ver dependência de , e .
Vou calcular
usando
.
Passo 5
Cálculo numérico de
, passo a passo.
- Usando
, e , - Então
Passo 6
Entendendo a largura de banda
e sua relação com
e
.
- Para um circuito série RLC a largura de banda (definida como a diferença entre as duas frequências onde a potência entregue à resistência é metade do valor em ressonância — as chamadas frequências de meia potência) é dada por
- Há também uma forma direta:
que resulta da álgebra quando se manipula as equações das frequências de meia potência para o circuito série.
Vou calcular
por ambas as formas para conferir consistência.
Passo 7
Cálculo numérico da largura de banda
.
-
Pela relação
: -
Pela relação alternativa
: Confere com o valor anterior.
Passo 8
Resumo rápido dos resultados com interpretação curta (para lembrar na prova).
- Frequência de ressonância
: é a frequência onde as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam e a impedância é puramente resistiva. - Fator de qualidade
: indica uma ressonância moderadamente pronunciada. - Largura de banda
: intervalo de frequências em torno de onde a resposta é significativa; observe que é um jeito rápido de calcular no exame.