Exercício 14. Em média, 7 carros passam por hora em um determinado cruzamento. Suponha um modelo de probabilidade adequado e obtenha a probabilidade de que menos de 5 veículos passem por esse cruzamento durante qualquer intervalo de hora.

Passo 1

O enunciado diz que em média passam 7 carros por hora num cruzamento e pede a probabilidade de que em um intervalo de uma hora passem menos de 5 carros. O conteúdo é distribuição de Poisson, que modela o número de eventos independentes que ocorrem num intervalo fixo de tempo quando eles acontecem a uma taxa média conhecida.

Passo 2

Definimos a variável aleatória X como o número de carros que passam no cruzamento em uma hora. Pelo enunciado, assumimos o modelo de Poisson com parâmetro
\lambda = 7.

Passo 3

Pela fórmula da Poisson, a probabilidade de X assumir um valor k é
P(X=k) = \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^k}{k!}.
Portanto, a probabilidade de ocorrerem menos de 5 carros é
P(X<5) \;=\;\sum_{k=0}^{4} P(X=k) \;=\;\sum_{k=0}^{4} \frac{e^{-7}\,7^k}{k!}.

Passo 4

Vamos calcular numericamente cada termo e somar:
\begin{aligned} P(X=0)&=e^{-7}\tfrac{7^0}{0!}\approx0{,}000912,\\\ P(X=1)&=e^{-7}\tfrac{7^1}{1!}\approx0{,}006383,\\\ P(X=2)&=e^{-7}\tfrac{7^2}{2!}\approx0{,}022341,\\\ P(X=3)&=e^{-7}\tfrac{7^3}{3!}\approx0{,}052129,\\\ P(X=4)&=e^{-7}\tfrac{7^4}{4!}\approx0{,}091205. \end{aligned}
Somando esses valores, obtemos
P(X<5)\approx0{,}000912+0{,}006383+0{,}022341+0{,}052129+0{,}091205\approx0{,}173.

Resposta

P(X<5)=\sum_{k=0}^{4}\frac{e^{-7}7^k}{k!}\approx0{,}173.

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