Exercício 14. Mostre que, para todo t \in(-1,1),
\operatorname{arcsen} t=\arctan \frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo t\in(-1,1), vale a identidade
\operatorname{arcsen}t \;=\;\arctan\!\biggl(\frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}}\biggr).
Isso envolve as definições de função inversa de seno (arcsen) e de tangente (arctan), e a relação trigonométrica \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}.

Passo 2

Defina
\theta = \operatorname{arcsen}t.
Pela definição de arcsen, temos \sin\theta = t e o valor principal de \theta está em \displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}.

Passo 3

Usando a identidade fundamental do triângulo retângulo,
\cos\theta = \sqrt{1-\sin^{2}\theta} =\sqrt{1-t^{2}},
onde escolhemos o sinal positivo porque \theta está em \bigl(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\bigr).

Passo 4

Agora calculemos a tangente de \theta:
\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}}.
Como \theta também está em \bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr), a função arctan é inversa de tan nesse intervalo.

Passo 5

Pela definição de arctan no intervalo \bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr), temos
\theta = \arctan\!\biggl(\frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}}\biggr).
Mas lembre-se que \theta = \operatorname{arcsen}t. Portanto,

Resposta

\operatorname{arcsen}t = \arctan\!\biggl(\frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}}\biggr),
conforme queríamos demonstrar.

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