Exercício 14. Mostre que, para todo
,
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
, vale a identidade
Isso envolve as definições de função inversa de seno (arcsen) e de tangente (arctan), e a relação trigonométrica
.
Passo 2
Defina
Pela definição de arcsen, temos
e o valor principal de
está em
.
Passo 3
Usando a identidade fundamental do triângulo retângulo,
onde escolhemos o sinal positivo porque
está em
.
Passo 4
Agora calculemos a tangente de
:
Como
também está em
, a função arctan é inversa de tan nesse intervalo.
Passo 5
Pela definição de arctan no intervalo
, temos
Mas lembre-se que
. Portanto,
Resposta
conforme queríamos demonstrar.