Exercício 0.15 Seja a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=2 x-3. Construa num mesmo plano cartesiano os gráficos de f e f^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede para construir, no mesmo plano cartesiano, os gráficos de f e de f^{-1}. As informações dadas são:
  • A função f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} é f(x)=2x-3.
  • Preciso obter f^{-1} (a inversa de f) e desenhar os dois gráficos no mesmo sistema de eixos.
Não vou resolver nada ainda; só identifiquei o que é pedido e os dados disponíveis.

Passo 2

O que é f^{-1} e como a gente costuma encontrá-la (aula rápida):
  • A função inversa troca as entradas e saídas: se y=f(x), então para a inversa queremos uma fórmula que, dada uma saída y, devolva a entrada x.
  • Operacionalmente: escrevemos y=f(x), trocamos x e y e isolamos y para obter f^{-1}(x).
  • Observação geométrica importante (que ajuda a construir o gráfico): o gráfico de f^{-1} é a reflexão do gráfico de f em relação à reta y=x. Em termos de pontos: se (a,b) está no gráfico de f, então (b,a) estará no gráfico de f^{-1}.

Passo 3

Calcular algebricamente f^{-1} passo a passo:
  • Começo com a definição: escrevo y=f(x):
y=2x-3.
  • Troco x e y:
x=2y-3.
  • Agora isolo y: somo 3 em ambos os lados:
x+3=2y.
  • Divido por 2:
y=\frac{x+3}{2}.
  • Concluo que
f^{-1}(x)=\frac{x+3}{2}.

Passo 4

Verificação por composição (pra você confiar que está certo):
  • Calculo f(f^{-1}(x)):
f\!\left(f^{-1}(x)\right)=2\left(\frac{x+3}{2}\right)-3 = x+3-3 = x.
  • Calculo f^{-1}(f(x)):
f^{-1}\!\left(f(x)\right)=\frac{2x-3+3}{2}=\frac{2x}{2}=x.
As duas composições dão a identidade, então a inversa calculada está correta.

Passo 5

Identificar forma das retas e coeficientes (para desenhar sem calculadora):
  • f(x)=2x-3 é uma reta de coeficiente angular (inclinação) 2 e ordenada na origem (intercepto) -3. Ou seja, sobe 2 unidades quando x aumenta 1, e cruza o eixo y em (0,-3).
  • f^{-1}(x)=\dfrac{x+3}{2} pode ser reescrita como f^{-1}(x)=\tfrac{1}{2}x+\tfrac{3}{2}. Essa reta tem inclinação \tfrac{1}{2} e intercepto \tfrac{3}{2}. Ou seja, sobe 1 unidade quando x aumenta 2, e cruza o eixo y em \left(0,\tfrac{3}{2}\right).

Passo 6

Escolher pontos fáceis para traçar cada reta (estratégia prática para a prova):
  • Para f(x)=2x-3: pegue pontos inteiros fáceis:
    • x=0 f(0)=-3 então ponto \left(0,-3\right).
    • x=1 f(1)=-1 então ponto \left(1,-1\right).
    • x=2 f(2)=1 então ponto \left(2,1\right).
      Esses três pontos já permitem traçar a reta com precisão (subida 2 por 1).
  • Para f^{-1}(x)=\dfrac{x+3}{2}: use pontos que são permutações dos anteriores (isso é elegante e evita erro):
    • Note que (0,-3) está em f, então (-3,0) estará em f^{-1}. Use ponto \left(-3,0\right).
    • (1,-1) em f gera (-1,1) em f^{-1}. Use \left(-1,1\right).
    • Também use o intercepto: x=0 f^{-1}(0)=\tfrac{3}{2}, ponto \left(0,\tfrac{3}{2}\right).
      Com esses pontos você traça a reta de inclinação \tfrac{1}{2}.

Passo 7

Ponto fixo (interseção das duas retas) — é útil porque é um ponto que aparece em ambos os gráficos:
  • Resolvo f(x)=x:
2x-3=x \implies x=3.
  • Logo o ponto \left(3,3\right) pertence a ambos os gráficos. Geometricamente é onde a reta e a sua reflexão se cruzam (pontos da reta y=x que satisfazem f(x)=x são pontos fixos).

Passo 8

Como desenhar passo a passo no papel (sequência prática e segura):
  1. Desenhe os eixos x e y e marque a reta de referência y=x (linha pontilhada, opcional).
  2. Marque e ligue os pontos de f: \left(0,-3\right), \left(1,-1\right), \left(2,1\right). Trace a reta passando por eles; será uma linha com inclinação 2.
  3. Marque e ligue os pontos de f^{-1}: \left(-3,0\right), \left(-1,1\right), \left(0,\tfrac{3}{2}\right). Trace a reta; será mais “achatada”, inclinação \tfrac{1}{2}.
  4. Confira que o ponto \left(3,3\right) está na interseção das duas retas e que cada ponto de f tem seu correspondente trocado em f^{-1} (por exemplo \left(0,-3\right) em f e \left(-3,0\right) em f^{-1}).
  5. Se quiser, desenhe a reta y=x e observe que uma reta é a reflexão da outra em relação a essa linha.

Passo 9

Resumo didático final (o que levar para a prova):
  • A inversa é \displaystyle f^{-1}(x)=\frac{x+3}{2}.
  • Para desenhar, escolha pontos simples e lembre que os pontos se trocam de coordenada entre f e f^{-1}; a reta y=x é o eixo de simetria entre os dois gráficos.
  • Verifique com composição e ponto fixo para garantir que tudo está correto.

Resposta

f(x)=2x-3 e f^{-1}(x)=\dfrac{x+3}{2}
Pontos úteis para traçar f: \left(0,-3\right),\;\left(1,-1\right),\;\left(2,1\right)
Pontos úteis para traçar f^{-1}: \left(-3,0\right),\;\left(-1,1\right),\;\left(0,\tfrac{3}{2}\right)
Interseção fixa: \left(3,3\right)

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