Exercício 0.15 Seja a função
definida por
. Construa num mesmo plano cartesiano os gráficos de
e
.
Passo 1
O enunciado pede para construir, no mesmo plano cartesiano, os gráficos de
e de
. As informações dadas são:
- A função
é . - Preciso obter
(a inversa de ) e desenhar os dois gráficos no mesmo sistema de eixos.
Não vou resolver nada ainda; só identifiquei o que é pedido e os dados disponíveis.
Passo 2
O que é
e como a gente costuma encontrá-la (aula rápida):
- A função inversa troca as entradas e saídas: se
, então para a inversa queremos uma fórmula que, dada uma saída , devolva a entrada . - Operacionalmente: escrevemos
, trocamos e e isolamos para obter . - Observação geométrica importante (que ajuda a construir o gráfico): o gráfico de
é a reflexão do gráfico de em relação à reta . Em termos de pontos: se está no gráfico de , então estará no gráfico de .
Passo 3
Calcular algebricamente
passo a passo:
- Começo com a definição: escrevo
:
- Troco
e :
- Agora isolo
: somo em ambos os lados:
- Divido por
:
- Concluo que
Passo 4
Verificação por composição (pra você confiar que está certo):
- Calculo
:
- Calculo
:
As duas composições dão a identidade, então a inversa calculada está correta.
Passo 5
Identificar forma das retas e coeficientes (para desenhar sem calculadora):
-
é uma reta de coeficiente angular (inclinação) e ordenada na origem (intercepto) . Ou seja, sobe 2 unidades quando aumenta 1, e cruza o eixo em . -
pode ser reescrita como . Essa reta tem inclinação e intercepto . Ou seja, sobe 1 unidade quando aumenta 2, e cruza o eixo em .
Passo 6
Escolher pontos fáceis para traçar cada reta (estratégia prática para a prova):
- Para
: pegue pontos inteiros fáceis: -
→ então ponto . -
→ então ponto . -
→ então ponto .
Esses três pontos já permitem traçar a reta com precisão (subida 2 por 1).
-
- Para
: use pontos que são permutações dos anteriores (isso é elegante e evita erro): - Note que
está em , então estará em . Use ponto . -
em gera em . Use . - Também use o intercepto:
→ , ponto .
Com esses pontos você traça a reta de inclinação.
- Note que
Passo 7
Ponto fixo (interseção das duas retas) — é útil porque é um ponto que aparece em ambos os gráficos:
- Resolvo
:
- Logo o ponto
pertence a ambos os gráficos. Geometricamente é onde a reta e a sua reflexão se cruzam (pontos da reta que satisfazem são pontos fixos).
Passo 8
Como desenhar passo a passo no papel (sequência prática e segura):
- Desenhe os eixos
e e marque a reta de referência (linha pontilhada, opcional). - Marque e ligue os pontos de
: , , . Trace a reta passando por eles; será uma linha com inclinação . - Marque e ligue os pontos de
: , , . Trace a reta; será mais “achatada”, inclinação . - Confira que o ponto
está na interseção das duas retas e que cada ponto de tem seu correspondente trocado em (por exemplo em e em ). - Se quiser, desenhe a reta
e observe que uma reta é a reflexão da outra em relação a essa linha.
Passo 9
Resumo didático final (o que levar para a prova):
- A inversa é
. - Para desenhar, escolha pontos simples e lembre que os pontos se trocam de coordenada entre
e ; a reta é o eixo de simetria entre os dois gráficos. - Verifique com composição e ponto fixo para garantir que tudo está correto.
Resposta
Pontos úteis para traçar
Pontos úteis para traçar
Interseção fixa: