Exercício 16. Achar todas as matrizes X \in M_{2 \times 1}(\mathbb{R}) tais que A X=3 X, onde
A=\left[\begin{array}{cc} 1 & 3 \\\\ 4 & -3 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todas as matrizes X\in M_{2\times1}(\mathbb{R}) tais que
A X = 3 X,
onde
A=\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]4 & -3\end{pmatrix}.
Informações dadas e objetivo explícito:
  • A é a matriz 2\times2 fornecida acima.
  • X é uma matriz coluna 2\times1, isto é, um vetor coluna com duas entradas reais; podemos escrever
X=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix},\qquad x,y\in\mathbb{R}.
  • A questão pede todos os vetores X (todas as colunas 2\times1) que satisfazem a igualdade matricial A X = 3 X.]

Passo 2

Transformar a igualdade matricial em um sistema linear padrão.
Subtraindo 3X dos dois lados obtemos
A X - 3 X = 0.
Fatorando X à direita (pois multiplicação é linear) obtemos
\bigl(A - 3I\bigr) X = 0,
onde I é a matriz identidade 2\times2:
I=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Agora calculamos A-3I:
A-3I=\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]4 & -3\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1-3 & 3\\[4pt]4 & -3-3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2 & 3\\[4pt]4 & -6\end{pmatrix}.
Assim precisamos resolver o sistema homogêneo
\begin{pmatrix}-2 & 3\\[4pt]4 & -6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 3

Converter a multiplicação matricial em equações escalares e resolver.
A multiplicação dá o sistema:
\begin{cases} -2x + 3y = 0,\\[4pt] 4x - 6y = 0. \end{cases}
Observação: a segunda equação é exatamente -2 vezes a primeira? Verificando, se multiplicarmos a primeira por -2 obtemos 4x-6y=0, que é igual à segunda. Portanto as duas equações são dependentes e há apenas uma equação independente. Isso significa que o espaço solução tem dimensão 1 (uma família de soluções parametrizada por um parâmetro real).
Da primeira equação:
-2x + 3y = 0 \quad\Rightarrow\quad 3y = 2x \quad\Rightarrow\quad y = \frac{2}{3}x.
Para escrever a solução de forma simpática, escolhemos um parâmetro t\in\mathbb{R} e tomamos x=3t. Então
y=\frac{2}{3}\cdot(3t)=2t.
Logo uma expressão conveniente para X é
X=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3t\\[4pt]2t\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}3\\[4pt]2\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.]

Passo 4

Interpretação e verificação (controle para ter certeza).
O conjunto de todas as soluções é a reta gerada pelo vetor \begin{pmatrix}3\\[4pt]2\end{pmatrix}, isto é, \operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}3\\[4pt]2\end{pmatrix}\right\}. Isso inclui o vetor nulo (quando t=0) e todos os múltiplos escalares.
Verificação rápida: calcular A vezes \begin{pmatrix}3\\[4pt]2\end{pmatrix}:
A\begin{pmatrix}3\\[4pt]2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\cdot3+3\cdot2\\[4pt]4\cdot3+(-3)\cdot2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3+6\\[4pt]12-6\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}9\\[4pt]6\end{pmatrix} =3\begin{pmatrix}3\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Portanto \begin{pmatrix}3\\[4pt]2\end{pmatrix} realmente satisfaz A X = 3 X, e qualquer múltiplo também satisfaz por linearidade.
Observação pedagógica curta: resolver (A-3I)X=0 é o procedimento padrão para encontrar vetores X que satisfazem A X = 3 X. O conjunto solução é o núcleo (nullspace) da matriz A-3I; aqui esse núcleo é uma linha (dimensão 1) gerada por \begin{pmatrix}3\\[4pt]2\end{pmatrix}.]

Resposta

X=t\begin{pmatrix}3\\[4pt]2\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.]