Exercício 16. Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
Se m \cdot n é ímpar, então m e n são ímpares.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dados inteiros m e n, se o produto m\cdot n é ímpar então tanto m quanto n são ímpares. O conteúdo envolvido é teoria de números elementar, em particular a paridade (números pares e ímpares). Para isso, vamos usar o método da contrapositiva, que diz:
“Uma implicação P\implies Q é equivalente à sua contrapositiva \lnot Q\implies \lnot P.”

Passo 2

Primeiro, recordemos as definições de par e ímpar:
Um inteiro k é par se existe r\in\mathbb{Z} tal que
k = 2r.
Um inteiro k é ímpar se existe s\in\mathbb{Z} tal que
k = 2s + 1.

Passo 3

Aplicamos a contrapositiva ao enunciado original. A afirmação a provar é
P:\bigl(m\cdot n\text{ é ímpar}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad Q:\bigl(m\text{ e }n\text{ são ímpares}\bigr).éíãí
A contrapositiva é
\lnot Q:\bigl(m\text{ não é ímpar ou }n\text{ não é ímpar}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \lnot P:\bigl(m\cdot n\text{ não é ímpar}\bigr),ãéíãéíãéí
isto é,
“Se pelo menos um entre m e n é par, então m\cdot n é par.”

Passo 4

Suponha m é par. Então existe a\in\mathbb{Z} tal que
m = 2a.
Logo,
m\cdot n = (2a)\cdot n = 2\,(a n).
Como a n\in\mathbb{Z}, concluímos que m\cdot n é par.

Passo 5

De modo análogo, se n é par então existe b\in\mathbb{Z} com n=2b e
m\cdot n = m\,(2b) = 2\,(m b),
o que mostra que m\cdot n é par.

Passo 6

Concluímos a contrapositiva:
“Se pelo menos um dos fatores m ou n é par, então o produto m\cdot n é par.”
Como a contrapositiva é logicamente equivalente à afirmação original, temos provado que
“Se m\cdot n é ímpar, então m e n são ímpares.”

Resposta

Fica demonstrado que, se o produto m\cdot n é ímpar, então ambos m e n devem ser ímpares.

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