Exercício 16. Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
Se
é ímpar, então
e
são ímpares.
Se
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dados inteiros
e
, se o produto
é ímpar então tanto
quanto
são ímpares. O conteúdo envolvido é teoria de números elementar, em particular a paridade (números pares e ímpares). Para isso, vamos usar o método da contrapositiva, que diz:
“Uma implicação é equivalente à sua contrapositiva
.”
“Uma implicação
Passo 2
Primeiro, recordemos as definições de par e ímpar:
Um inteiro é par se existe
tal que
Um inteiro
Um inteiro
é ímpar se existe
tal que
Passo 3
Aplicamos a contrapositiva ao enunciado original. A afirmação a provar é
A contrapositiva é
isto é,
“Se pelo menos um entre e
é par, então
é par.”
“Se pelo menos um entre
Passo 4
Suponha
é par. Então existe
tal que
Logo,
Como
, concluímos que
é par.
Passo 5
De modo análogo, se
é par então existe
com
e
o que mostra que
é par.
Passo 6
Concluímos a contrapositiva:
“Se pelo menos um dos fatores ou
é par, então o produto
é par.”
Como a contrapositiva é logicamente equivalente à afirmação original, temos provado que
“Se é ímpar, então
e
são ímpares.”
“Se pelo menos um dos fatores
Como a contrapositiva é logicamente equivalente à afirmação original, temos provado que
“Se
Resposta
Fica demonstrado que, se o produto
é ímpar, então ambos
e
devem ser ímpares.