Exercício 16 Mostre que se
Exponencial
, então
Exponencial
. Use este fato e os valores obtidos no item (
) do Exercício 15 para encontrar a variância e a distância interquartílica de
.
Passo 1
O que o exercício pede e o que temos de informação:
- Temos
com distribuição exponencial de parâmetro , ou seja Exponencial . - A primeira tarefa é mostrar que
tem distribuição Exponencial . - Depois, usando esse fato e os valores do item (f) do Exercício 15 (relativos à distribuição Exponencial
), encontrar a variância de e a distância interquartílica (IQR) de .
Informações dadas relevantes:
-
Exponencial com densidade para . - Do Exercício 15(f) (que trata da Exp
) usaremos os resultados para Exp : variância igual a e IQR igual a . (Abaixo vou também deduzir esses valores de forma didática, para você entender e poder aplicar na prova.)
Passo 2
Provar que
Exponencial
(método pelo CDF, que é o mais direto).
Defina . Para
,
Defina
Como
para
, substituindo:
Isso é exatamente a função de distribuição da Exponencial
. Portanto
Exponencial
.
Comentário didático curto: transformar variáveis por escala é simples com a CDF porque
. Para
a ordem e sinal não mudam, então fica direto.
Passo 3
Como momentos se transformam por escala (fato usado depois).
Se com
constante, então
Se
Prova rápida das fórmulas:
por linearidade da esperança; para variância,
No nosso caso
, então
e, invertendo a relação para variância,
Assim, se soubermos
para
Exp
, obtemos
.
Passo 4
Calcular
para
Exponencial
(aqui ensino como fazer na prova).
A densidade é para
. Primeiro a esperança:
A densidade é
Usa-se integração por partes: tome
,
então
,
. Assim
Agora
:
Fazendo integração por partes com
,
(então
,
):
Já calculamos
, logo
.
Portanto
Portanto
Esse é exatamente o valor mencionado do Exercício 15(f):
.
Passo 5
Calcular a distância interquartílica (IQR) para
Exponencial
(também um resultado do Ex15(f), aqui explico como obter).
A função de distribuição é . Invertendo para obter o quantil de ordem
,
, temos
A função de distribuição é
Os quartis são
e
:
A distância interquartílica é
Portanto
, que é o outro valor citado do Exercício 15(f).
Passo 6
Passar esses resultados para
usando a escala
.
- Variância: como
,
- Quartis e IQR: quantis escalam linearmente com a variável, ou seja
. Logo