Exercício 16 Mostre que se X \sim Exponencial (\lambda), \lambda>0, então \lambda X \sim Exponencial (1). Use este fato e os valores obtidos no item ( f ) do Exercício 15 para encontrar a variância e a distância interquartílica de X.

Passo 1

O que o exercício pede e o que temos de informação:
  • Temos X com distribuição exponencial de parâmetro \lambda>0, ou seja X\sim Exponencial (\lambda).
  • A primeira tarefa é mostrar que Y=\lambda X tem distribuição Exponencial (1).
  • Depois, usando esse fato e os valores do item (f) do Exercício 15 (relativos à distribuição Exponencial (1)), encontrar a variância de X e a distância interquartílica (IQR) de X.
Informações dadas relevantes:
  • X\sim Exponencial (\lambda) com densidade f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x} para x\ge 0.
  • Do Exercício 15(f) (que trata da Exp (1)) usaremos os resultados para Exp (1): variância igual a 1 e IQR igual a \ln 3. (Abaixo vou também deduzir esses valores de forma didática, para você entender e poder aplicar na prova.)

Passo 2

Provar que \lambda X \sim Exponencial (1) (método pelo CDF, que é o mais direto).
Defina Y=\lambda X. Para y\ge 0,
F_Y(y)=P(Y\le y)=P(\lambda X\le y)=P\!\left(X\le\frac{y}{\lambda}\right)=F_X\!\left(\frac{y}{\lambda}\right).
Como F_X(x)=1-e^{-\lambda x} para x\ge 0, substituindo:
F_Y(y)=1-e^{-\lambda\cdot\frac{y}{\lambda}}=1-e^{-y}.
Isso é exatamente a função de distribuição da Exponencial (1). Portanto Y=\lambda X\sim Exponencial (1).
Comentário didático curto: transformar variáveis por escala é simples com a CDF porque P(aX\le y)=P(X\le y/a). Para a>0 a ordem e sinal não mudam, então fica direto.

Passo 3

Como momentos se transformam por escala (fato usado depois).
Se Y=aX com a constante, então
E[Y]=aE[X]\quad\text{e}\quad \operatorname{Var}(Y)=a^{2}\operatorname{Var}(X).
Prova rápida das fórmulas: E[aX]=aE[X] por linearidade da esperança; para variância,
\operatorname{Var}(aX)=E[(aX)^2]-\big(E[aX]\big)^2=a^2E[X^2]-a^2E[X]^2=a^2\operatorname{Var}(X).
No nosso caso Y=\lambda X, então X=\frac{1}{\lambda}Y e, invertendo a relação para variância,
\operatorname{Var}(X)=\frac{1}{\lambda^2}\operatorname{Var}(Y).
Assim, se soubermos \operatorname{Var}(Y) para Y\sim Exp (1), obtemos \operatorname{Var}(X).

Passo 4

Calcular \operatorname{Var}(Y) para Y\sim Exponencial (1) (aqui ensino como fazer na prova).
A densidade é f_Y(y)=e^{-y} para y\ge 0. Primeiro a esperança:
E[Y]=\int_{0}^{\infty} y e^{-y}\,dy.
Usa-se integração por partes: tome u=y, dv=e^{-y}dy então du=dy, v=-e^{-y}. Assim
\int_{0}^{\infty} y e^{-y}dy=\big[-y e^{-y}\big]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty} e^{-y}dy = 0 + 1 = 1.
Agora E[Y^2]:
E[Y^2]=\int_{0}^{\infty} y^2 e^{-y}dy.
Fazendo integração por partes com u=y^2, dv=e^{-y}dy (então du=2y\,dy, v=-e^{-y}):
\int_{0}^{\infty} y^2 e^{-y}dy=\big[-y^2 e^{-y}\big]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty} 2y e^{-y}dy = 0 + 2\int_{0}^{\infty} y e^{-y}dy.
Já calculamos \int_{0}^{\infty} y e^{-y}dy=1, logo E[Y^2]=2.
Portanto
\operatorname{Var}(Y)=E[Y^2]-\big(E[Y]\big)^2=2-1^2=1.
Esse é exatamente o valor mencionado do Exercício 15(f): \operatorname{Var}(\text{Exp}(1))=1.

Passo 5

Calcular a distância interquartílica (IQR) para Y\sim Exponencial (1) (também um resultado do Ex15(f), aqui explico como obter).
A função de distribuição é F_Y(y)=1-e^{-y}. Invertendo para obter o quantil de ordem p, q_p, temos
p=1-e^{-q_p}\quad\Rightarrow\quad e^{-q_p}=1-p\quad\Rightarrow\quad q_p=-\ln(1-p).
Os quartis são q_{0,25} e q_{0,75}:
q_{0,25}=-\ln(1-0{,}25)=-\ln(0{,}75)=\ln\!\left(\frac{4}{3}\right),
q_{0,75}=-\ln(1-0{,}75)=-\ln(0{,}25)=\ln 4.
A distância interquartílica é
\operatorname{IQR}(Y)=q_{0,75}-q_{0,25}=\ln 4 - \ln\!\left(\frac{4}{3}\right)=\ln 3.
Portanto \operatorname{IQR}(\text{Exp}(1))=\ln 3, que é o outro valor citado do Exercício 15(f).

Passo 6

Passar esses resultados para X usando a escala X=\dfrac{1}{\lambda}Y.
  • Variância: como X=(1/\lambda)Y,
\operatorname{Var}(X)=\frac{1}{\lambda^2}\operatorname{Var}(Y)=\frac{1}{\lambda^2}\cdot 1=\frac{1}{\lambda^2}.
  • Quartis e IQR: quantis escalam linearmente com a variável, ou seja q_p(X)=\dfrac{1}{\lambda}q_p(Y). Logo
\operatorname{IQR}(X)=\frac{1}{\lambda}\operatorname{IQR}(Y)=\frac{1}{\lambda}\ln 3.

Resposta

\operatorname{Var}(X)=\dfrac{1}{\lambda^{2}}
\operatorname{IQR}(X)=\dfrac{\ln 3}{\lambda}