Exercício 19 (Paralelepípedo) Considere-se um paralelepípedo A B C D E F G H.
Mostrar que os vetores \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A G} são coplanares.
Passo 1
O enunciado apresenta um paralelepípedo ABCDEFGH e pede para mostrar que os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AG} são coplanares. Vamos usar o fato de que, em \mathbb{R}^3, quaisquer dois vetores com a mesma origem que não sejam colineares determinam um único plano que os contém.
Passo 2
Note que \overrightarrow{AB} é uma aresta do paralelepípedo e \overrightarrow{AG} é a diagonal que vai de A a G. Esses dois vetores não são múltiplos um do outro, pois a diagonal não é colinear à aresta. Logo, os pontos A, B e G não são colineares e definem um único plano \alpha. Como \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AG} têm mesma origem A e ambos pertencem a \alpha, concluímos que eles são coplanares.
Resposta
Os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AG} determinam o plano que passa pelos pontos A, B e G e, portanto, são coplanares.