Exercício 20 (Cubo) Considere-se fixado um sistema de coordenadas ortonormais (O ; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}). Considere-se nesse sistema um cubo A B C D E F G H. Denote-se por M o ponto médio do segmento [E H]; por N o ponto médio do segmento [F C] e por P o ponto tal que \overrightarrow{H P}=\frac{1}{4} \overrightarrow{H G}.
20.1 Mostrar que as retas ( M P ) e ( F G ) são concorrentes em um ponto L e determinar as coordenadas desse ponto.
20.2 Suponha-se que as retas ( L N ) e ( C G ) sejam concorrentes; seja T seu ponto de interseção. Suponha-se que as retas ( L N ) e ( B F ) sejam concorrentes; seja Q seu ponto de interseção.
20.3 Determinar a interseção dos planos ( M N P ) e ( A B F )
20.4 Determinar a interseção do plano ( M N P ) com o cubo A B C D E F G H.
Passo 1
O enunciado trata de um cubo de aresta 1 cujos vértices, no sistema (O;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k), podemos escolher como
O plano (ABF) é dado por y=0. Para achar a interseção com (MNP) precisamos da equação deste último. Tomemos \vec v_1=N-M=(1,0,-\tfrac12) e \vec v_2=P-M=(\tfrac14,\tfrac12,0).
O normal é
Eles formam um pentágono convexo que é o polígono de seção do plano dentro do cubo.
Resposta
L\bigl(1,\tfrac52,1\bigr)
T\bigl(1,1,\tfrac58\bigr)
Q\bigl(1,0,\tfrac38\bigr) \,(MNP)\cap(ABF)\colon\{y=0,\;4x+8z-7=0\} \,(MNP)\cap\text{cubo} é o pentágono de vértices