Exercício 20 (Cubo) Considere-se fixado um sistema de coordenadas ortonormais (O ; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}). Considere-se nesse sistema um cubo A B C D E F G H. Denote-se por M o ponto médio do segmento [E H]; por N o ponto médio do segmento [F C] e por P o ponto tal que \overrightarrow{H P}=\frac{1}{4} \overrightarrow{H G}.
20.1 Mostrar que as retas ( M P ) e ( F G ) são concorrentes em um ponto L e determinar as coordenadas desse ponto.
20.2 Suponha-se que as retas ( L N ) e ( C G ) sejam concorrentes; seja T seu ponto de interseção. Suponha-se que as retas ( L N ) e ( B F ) sejam concorrentes; seja Q seu ponto de interseção.
20.3 Determinar a interseção dos planos ( M N P ) e ( A B F )
20.4 Determinar a interseção do plano ( M N P ) com o cubo A B C D E F G H.

Passo 1

O enunciado trata de um cubo de aresta 1 cujos vértices, no sistema (O;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k), podemos escolher como
A(0,0,0),\;B(1,0,0),\;C(1,1,0),\;D(0,1,0),\; E(0,0,1),\;F(1,0,1),\;G(1,1,1),\;H(0,1,1).
Definem-se
M ponto médio de [EH],
N ponto médio de [FC],
P tal que \overrightarrow{HP}=\tfrac14\,\overrightarrow{HG}.
Em seguida pede-se:
  1. mostrar que as retas MP e FG se cortam em L e achar \coords L;
  2. achar T=LN\cap CG e Q=LN\cap BF;
  3. interseção do plano (MNP) com (ABF);
  4. interseção do plano (MNP) com o cubo.

Passo 2

Calculemos as coordenadas de M,N,P por média ou por definição:
M=\frac{E+H}2=\bigl(0,\tfrac12,1\bigr),
N=\frac{F+C}2=\bigl(1,\tfrac12,\tfrac12\bigr),
\overrightarrow{HG}=G-H=(1,0,0) \quad\Longrightarrow\quad P=H+\tfrac14\,(1,0,0)=\bigl(\tfrac14,1,1\bigr).

Passo 3

Escrevemos as retas em forma paramétrica e igualamos:
MP\colon X=M+t(P-M), isto é
x=t\cdot\tfrac14,\quad y=\tfrac12+t\cdot\tfrac12,\quad z=1.
FG\colon X=F+s(G-F), isto é
x=1,\quad y=s,\quad z=1.
Para a interseção exigimos x=1, z=1 e igualar y. De x=t/4=1 vem t=4. Então
y=\tfrac12+4\cdot\tfrac12=\tfrac12+2=\tfrac52, \quad z=1,
e s=y=5/2. Mesmo que s saia de [0,1], extende-se a reta:
L=\bigl(1,\tfrac52,1\bigr).

Passo 4

A reta LN em forma paramétrica é
LN\colon X=L+u\,(N-L) =\bigl(1,\tfrac52,1\bigr) +u\bigl(0,-2,-\tfrac12\bigr),
isto é
x=1,\quad y=\tfrac52-2u,\quad z=1-\tfrac u2.
Para T=LN\cap CG note que CG\colon(x,y,z)=(1,1,v). Igualando y=1 \tfrac52-2u=1\implies u=\tfrac34, então
T=\Bigl(1,1,1-\tfrac{3/4}2\Bigr)=\Bigl(1,1,\tfrac58\Bigr).
Para Q=LN\cap BF note que BF\colon(x,y,z)=(1,0,w). Igualando y=0 \tfrac52-2u=0\implies u=\tfrac54, então
Q=\Bigl(1,0,1-\tfrac{5/4}2\Bigr)=\Bigl(1,0,\tfrac38\Bigr).

Passo 5

O plano (ABF) é dado por y=0. Para achar a interseção com (MNP) precisamos da equação deste último. Tomemos \vec v_1=N-M=(1,0,-\tfrac12) e \vec v_2=P-M=(\tfrac14,\tfrac12,0).
O normal é
\vec n=\vec v_1\times\vec v_2 =(1,0,-\tfrac12)\times(\tfrac14,\tfrac12,0) =( \tfrac14,\,-\tfrac18,\,\tfrac12) \propto(2,-1,4).
Usando M(0,\tfrac12,1), a equação de (MNP) é
2(x-0)-1\bigl(y-\tfrac12\bigr)+4(z-1)=0 \;\Longrightarrow\; 4x-2y+8z-7=0.
Impondo y=0 vem a reta-interseção
\bigl\{\,y=0,\;4x+8z-7=0\,\bigr\}.

Passo 6

Para a interseção do plano 4x-2y+8z-7=0 com o cubo, testamos cada aresta 0\le x,y,z\le1. Os pontos efetivos são:
E_1=(0,0,\tfrac78),\; E_2=(1,0,\tfrac38),\; E_3=(1,1,\tfrac58),\; E_4=(\tfrac14,1,1),\; E_5=(0,\tfrac12,1).
Eles formam um pentágono convexo que é o polígono de seção do plano dentro do cubo.

Resposta

L \bigl(1,\tfrac52,1\bigr)
T \bigl(1,1,\tfrac58\bigr)
Q \bigl(1,0,\tfrac38\bigr) \,(MNP)\cap(ABF)\colon\{y=0,\;4x+8z-7=0\} \,(MNP)\cap\text{cubo} é o pentágono de vértices
(0,0,\tfrac78),\; (1,0,\tfrac38),\; (1,1,\tfrac58),\; (\tfrac14,1,1),\; (0,\tfrac12,1).

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