Exercício 6.8.20. Determinar, se existe, uma matriz ortogonal P_{i} e una matriz diagonale D_{i} tal que P_{i}^{-1} M_{i} P_{i}=D_{i} para cada uma das seguintes matrizes representativas, na base canônica \mathcal{B}_{3}=\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right\} de \mathbb{R}^{3}, de operadores em \mathbb{R}^{3} :
O enunciado pede, para cada matriz M_{i}, verificar se existe uma matriz ortogonal P_{i} e uma matriz diagonal D_{i} tais que
P_{i}^{-1}M_{i}P_{i}=D_{i}.
Em \mathbb{R}^{3}, isso equivale a checar se M_{i} é simétrica (logo ortogonalmente diagonalizável) e, em caso afirmativo, encontrar seus autovalores e uma base ortonormal de autovetores.
Para \lambda_{1}=2, um autovetor é v_{1}=(1,2,1).
Para \lambda_{2}=-1, um autovetor é v_{2}=(1,-1,1).
Para \lambda_{3}=0, um autovetor é v_{3}=(1,0,-1).
Esses três vetores são mutuamente ortogonais. Normalizando, obtemos a base ortonormal
vemos que M_{3}\neq M_{3}^{T}. Além disso, o autovalor \lambda=2 tem multiplicidade algébrica 2, mas a multiplicidade geométrica é 1 (o espaço próprio é gerado apenas por (0,1,0)). Logo M_{3} não é diagonalizável nem por matriz geral e muito menos por ortogonal.