Exercício 20. Dizer se as afirmações seguintes são verdadeiras e escrever suas negações.
\exists \mathrm{x} \in \mathbb{R}, \exists \mathrm{y} \in \mathbb{R}, \mathrm{x}+\mathrm{y}>0

Passo 1

O enunciado apresenta a afirmação com quantificadores na reta real:
\exists x \in \mathbb{R},\;\exists y \in \mathbb{R},\;x + y > 0.
O que se pede é (1) decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e (2) escrever sua negação lógica.

Passo 2

Para testar a veracidade de
\exists x \in \mathbb{R},\;\exists y \in \mathbb{R},\;x + y > 0,
basta encontrar um par (x,y) que satisfaça x+y>0. Por exemplo, x=1 e y=1 dão
1 + 1 = 2 > 0.
Logo, a afirmação é verdadeira.

Passo 3

A negação de
\exists x\in\mathbb{R},\;\exists y\in\mathbb{R},\;P(x,y)
é
\forall x\in\mathbb{R},\;\forall y\in\mathbb{R},\;\neg P(x,y).
Aqui P(x,y) é o predicado “ x+y>0”. Assim, a negação é
\forall x\in\mathbb{R},\;\forall y\in\mathbb{R},\;x + y \le 0.

Resposta

A afirmação original é verdadeira.
Sua negação é
\forall x \in \mathbb{R},\;\forall y \in \mathbb{R},\;x + y \le 0.

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