Exercício 22.* Mostre que
\cos \frac{\pi}{32}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a expressão de \cos\frac{\pi}{32} em termos de raízes aninhadas. O conteúdo necessário é a fórmula do semidobro (meio-ângulo) para o cosseno e a aplicação repetida dela.

Passo 2

A fórmula do semidobro para o cosseno é
\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) =\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}.

Passo 3

Começamos com x=\pi/2, sabendo que \cos(\pi/2)=0, e aplicamos a fórmula duas vezes:
\cos(\pi/4) =\sqrt{\frac{1+0}{2}} =\frac{\sqrt{2}}{2},
\cos(\pi/8) =\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} =\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}.

Passo 4

Repetimos agora para x=\pi/8 e em seguida para x=\pi/16:
\cos(\pi/16) =\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}{2}} =\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2},
\cos(\pi/32) =\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}}{2}} =\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2}.

Resposta

\cos \frac{\pi}{32} =\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2}.

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