Exercício 22 (Retas no espaço) Considere-se um sistema de coordenadas ortonormais ( O, \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k} ). Considerem-se os pontos A(0 ; 4 ; 1), B(1 ; 3 ; 0), C(2 ;-1 ;-2), D(7 ;-1 ; 4).
22.1 Mostrar que os pontos A, B, C não estão alinhados
22.2 Seja a reta ( r ), que contém o ponto D e tem a direção do vetor \vec{u}=(2 ;-1 ; 3). Mostrar que a reta ( r ) é ortogonal ao plano ( A B C ). (ABC).
22.4 Determinar equações paramétricas da reta ( r ).
22.5 Determinar as coordenadas do ponto H, interseção da reta ( r ) com o plano ( A B C ).
22.6 Sejam os planos \left(P_{1}\right): x+y+z=0 e \left(P_{2}\right): x+4 y+2=0. Mostrar que os planos \left(P_{1}\right) e \left(P_{2}\right) são concorrentes.
cas da reta ( r_{1,2} ), interseção dos planos \left(P_{1}\right) e \left(P_{2}\right).
22.8 Determinar a posição relativa entre a reta \left(r_{1,2}\right)=\left(P_{1}\right) \cap\left(P_{2}\right) e o plano (A B C).

Passo 1

O enunciado dá os pontos
A(0,4,1),\quad B(1,3,0),\quad C(2,-1,-2),\quad D(7,-1,4)
e o vetor de direção
\vec u=(2,-1,3).
Precisamos:
  1. Mostrar que A,B,C não são colineares.
  2. Mostrar que a reta r que passa por D com direção \vec u é ortogonal ao plano (ABC).
  3. Escrever as equações paramétricas de r.
  4. Determinar o ponto H=r\cap(ABC).
  5. Mostrar que os planos
P_1:\;x+y+z=0,\quad P_2:\;x+4y+2=0
são concorrentes e achar sua reta de interseção r_{1,2}.
6. Verificar a posição relativa de r_{1,2} e do plano (ABC).

Passo 2

Calculemos
\overrightarrow{AB}=B-A=(1,-1,-1),\quad \overrightarrow{AC}=C-A=(2,-5,-3).
Para ver se A,B,C são colineares, basta verificar se \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} são paralelos. O produto vetorial é
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} =\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ 1 & -1 & -1\\\\ 2 & -5 & -3 \end{vmatrix} =(-2,\,1,\,-3),
que é diferente de (0,0,0). Logo, \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} não são paralelos e A,B,C não estão alinhados.

Passo 3

O plano (ABC) tem normal
\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-2,1,-3).
A reta r tem direção \vec u=(2,-1,3). Note que
\vec u=-1\cdot\vec n,
ou seja, \vec u é paralelo ao normal do plano, o que mostra que r é ortogonal ao plano (ABC).

Passo 4

Como r passa por D(7,-1,4) e tem direção \vec u=(2,-1,3), suas equações paramétricas são
\begin{cases} x=7+2t,\\\ y=-1 - t,\\\ z=4+3t. \end{cases}

Passo 5

Para achar H=r\cap(ABC), usamos a equação do plano (ABC). Partindo de \vec n e do ponto A,
-2(x-0)+1(y-4)-3(z-1)=0 \;\Longrightarrow\; -2x+y-4-3z+3=0 \;\Longrightarrow\; 2x-y+3z+1=0.
Substituindo x=7+2t, y=-1-t, z=4+3t nessa equação:
2(7+2t)-(-1-t)+3(4+3t)+1=0 \;\Longrightarrow\; 14+4t+1+t+12+9t+1=0 \;\Longrightarrow\; 14t+28=0 \;\Longrightarrow\; t=-2.
Logo
H=\bigl(7+2(-2),\,-1-(-2),\,4+3(-2)\bigr)=(3,1,-2).

Passo 6

Os planos
P_1:\;x+y+z=0,\quad P_2:\;x+4y+2=0
têm normais \vec n_1=(1,1,1) e \vec n_2=(1,4,0), que não são múltiplos, logo P_1 e P_2 se intersectam segundo uma reta. Para achar r_{1,2}=P_1\cap P_2, tomemos parâmetro t=y. Da segunda equação x=-4y-2=-4t-2. Da primeira z=-x-y=4t+2 - t=3t+2. Assim
r_{1,2}:\quad \begin{cases} x=-2-4t,\\\ y= \;t,\\\ z=2+3t. \end{cases}

Passo 7

Para saber como r_{1,2} se posiciona em relação ao plano (ABC), inserimos as paramétricas em 2x-y+3z+1:
2(-2-4t)-t+3(2+3t)+1 =-4-8t - t+6+9t+1=3\quad(\forall t).
Como o resultado é a constante \,3\neq0, a reta não intersecta o plano e não está contida nele. Concluímos que r_{1,2} é paralela a (ABC).

Resposta

22.1 Não colineares (produto vetorial \neq0).
22.2 r\perp(ABC), pois \vec u\parallel\vec n.
22.4 \displaystyle x=7+2t,\;y=-1-t,\;z=4+3t.
22.5 H=(3,1,-2).
22.6 P_1 e P_2 são concorrentes (normais não colineares).
22.7 \displaystyle x=-2-4t,\;y=t,\;z=2+3t.
22.8 A reta r_{1,2} é paralela ao plano (ABC).

Exercícios relacionados