Exercício 22 (Retas no espaço) Considere-se um sistema de coordenadas ortonormais ( O, \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k} ). Considerem-se os pontos A(0 ; 4 ; 1), B(1 ; 3 ; 0), C(2 ;-1 ;-2), D(7 ;-1 ; 4).
22.1 Mostrar que os pontos A, B, C não estão alinhados
22.2 Seja a reta ( r ), que contém o ponto D e tem a direção do vetor \vec{u}=(2 ;-1 ; 3). Mostrar que a reta ( r ) é ortogonal ao plano ( A B C ). (ABC).
22.4 Determinar equações paramétricas da reta ( r ).
22.5 Determinar as coordenadas do ponto H, interseção da reta ( r ) com o plano ( A B C ).
22.6 Sejam os planos \left(P_{1}\right): x+y+z=0 e \left(P_{2}\right): x+4 y+2=0. Mostrar que os planos \left(P_{1}\right) e \left(P_{2}\right) são concorrentes.
cas da reta ( r_{1,2} ), interseção dos planos \left(P_{1}\right) e \left(P_{2}\right).
22.8 Determinar a posição relativa entre a reta \left(r_{1,2}\right)=\left(P_{1}\right) \cap\left(P_{2}\right) e o plano (A B C).
têm normais \vec n_1=(1,1,1) e \vec n_2=(1,4,0), que não são múltiplos, logo P_1 e P_2 se intersectam segundo uma reta. Para achar r_{1,2}=P_1\cap P_2, tomemos parâmetro t=y. Da segunda equação x=-4y-2=-4t-2. Da primeira z=-x-y=4t+2 - t=3t+2. Assim
Como o resultado é a constante \,3\neq0, a reta não intersecta o plano e não está contida nele. Concluímos que r_{1,2} é paralela a (ABC).
Resposta
22.1 Não colineares (produto vetorial \neq0).
22.2 r\perp(ABC), pois \vec u\parallel\vec n.
22.4 \displaystyle x=7+2t,\;y=-1-t,\;z=4+3t.
22.5 H=(3,1,-2).
22.6 P_1 e P_2 são concorrentes (normais não colineares).
22.7 \displaystyle x=-2-4t,\;y=t,\;z=2+3t.
22.8 A reta r_{1,2} é paralela ao plano (ABC).