\mathbf{r}(u,v) é a parametrização da superfície; aqui \mathbf{r}(u,v)=S(u,v).
\mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v são as derivadas parciais de \mathbf{r} em relação a u e v (vetores tangentes).
\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v é o produto vetorial desses vetores; seu módulo dá a área do paralelogramo formado por \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v, que é o fator de escala para dS.
D é o domínio dos parâmetros (u,v).
Vou aplicar essa fórmula passo a passo.
Passo 3
Primeiro substituímos a parametrização no integrando para obter f(\mathbf{r}(u,v)).