Exercício 23. Dada a parametrização S(u, v)=(u \cos (v), u \operatorname{sen}(v), u) \operatorname{com} 0< u<\sqrt{3} e 0<v<\pi, calcule
\iint_{S} 3 \sqrt{x^{2}+y^{2}} d S .

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral de superfície
\iint_{S} 3 \sqrt{x^{2}+y^{2}}\, dS
para a superfície parametrizada por
S(u,v) = (u\cos v,\; u\sin v,\; u)
com domínio dos parâmetros
0 < u < \sqrt{3},\qquad 0 < v < \pi.
Informações dadas:
  • A parametrização S(u,v) expressa as funções x(u,v)=u\cos v, y(u,v)=u\sin v, z(u,v)=u.
  • O integrando é a função escalar 3\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • O domínio dos parâmetros D é o retângulo (0,\sqrt{3})\times(0,\pi).

Passo 2

Fórmula que vamos usar (aula rápida): para uma superfície parametrizada por \mathbf{r}(u,v) e uma função escalar f(x,y,z), a integral de superfície é
\iint_{S} f\, dS = \iint_{D} f\big(\mathbf{r}(u,v)\big)\,\big\| \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v \big\|\, du\,dv.
Explicando os termos:
  • \mathbf{r}(u,v) é a parametrização da superfície; aqui \mathbf{r}(u,v)=S(u,v).
  • \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v são as derivadas parciais de \mathbf{r} em relação a u e v (vetores tangentes).
  • \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v é o produto vetorial desses vetores; seu módulo dá a área do paralelogramo formado por \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v, que é o fator de escala para dS.
  • D é o domínio dos parâmetros (u,v).
Vou aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Primeiro substituímos a parametrização no integrando para obter f(\mathbf{r}(u,v)).
Temos x=u\cos v e y=u\sin v, então
\sqrt{x^{2}+y^{2}} = \sqrt{(u\cos v)^{2} + (u\sin v)^{2}} = \sqrt{u^{2}(\cos^{2}v+\sin^{2}v)} = \sqrt{u^{2}} = u,
porque u>0 no domínio. Portanto
f\big(\mathbf{r}(u,v)\big) = 3\sqrt{x^{2}+y^{2}} = 3u.
Comentário didático: a identidade \cos^{2}v+\sin^{2}v=1 é crucial aqui; ela simplifica muita coisa.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais da parametrização:
\mathbf{r}(u,v) = (u\cos v,\; u\sin v,\; u).
Derivando em relação a u,
\mathbf{r}_u = \left(\frac{\partial}{\partial u}(u\cos v),\; \frac{\partial}{\partial u}(u\sin v),\; \frac{\partial}{\partial u}u\right) = (\cos v,\; \sin v,\; 1).
Derivando em relação a v,
\mathbf{r}_v = \left(\frac{\partial}{\partial v}(u\cos v),\; \frac{\partial}{\partial v}(u\sin v),\; \frac{\partial}{\partial v}u\right) = (-u\sin v,\; u\cos v,\; 0).
Explicação: ao derivar término a término, tratamos u como constante quando derivamos em v, e v como constante quando derivamos em u.

Passo 5

Agora calculamos o produto vetorial \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v. Usamos a fórmula com determinante 3×3:
\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ \cos v & \sin v & 1 \\\\ - u\sin v & u\cos v & 0 \end{vmatrix}.
Computando componente a componente:
  • Componente em \mathbf{i}:
\mathbf{i}\big(\sin v\cdot 0 - 1\cdot u\cos v\big) = \mathbf{i}\,(-u\cos v).
  • Componente em \mathbf{j}:
-\mathbf{j}\big(\cos v\cdot 0 - 1\cdot(-u\sin v)\big) = -\mathbf{j}\,(u\sin v) = \mathbf{j}\,(-u\sin v).
  • Componente em \mathbf{k}:
\mathbf{k}\big(\cos v\cdot u\cos v - \sin v\cdot(-u\sin v)\big) = \mathbf{k}\big(u\cos^{2}v + u\sin^{2}v\big) = \mathbf{k}\,u.
Portanto
\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v = (-u\cos v,\; -u\sin v,\; u) = u(-\cos v,\; -\sin v,\; 1).

Passo 6

Calculamos o módulo de \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v:
\big\| \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v \big\| = \sqrt{(-u\cos v)^{2} + (-u\sin v)^{2} + (u)^{2}}.
Simplificando:
\big\| \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v \big\| = \sqrt{u^{2}\cos^{2}v + u^{2}\sin^{2}v + u^{2}} = \sqrt{u^{2}(\cos^{2}v+\sin^{2}v+1)}.
Usando \cos^{2}v+\sin^{2}v=1, obtemos
\big\| \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v \big\| = \sqrt{u^{2}\cdot 2} = u\sqrt{2}.
Assim o elemento de área é dS = u\sqrt{2}\, du\,dv.

Passo 7

Formamos o integrando total f(\mathbf{r}(u,v))\big\|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big\|:
3u \cdot (u\sqrt{2}) = 3\sqrt{2}\, u^{2}.
Portanto a integral de superfície vira uma integral dupla sobre D:
\iint_{S} 3\sqrt{x^{2}+y^{2}}\, dS = \int_{v=0}^{\pi}\int_{u=0}^{\sqrt{3}} 3\sqrt{2}\, u^{2}\, du\, dv.

Passo 8

Calculamos a integral iterada. Como o integrando separa u e v, podemos separar as integrais:
\int_{v=0}^{\pi}\int_{u=0}^{\sqrt{3}} 3\sqrt{2}\, u^{2}\, du\, dv = 3\sqrt{2}\left(\int_{v=0}^{\pi} dv\right)\left(\int_{u=0}^{\sqrt{3}} u^{2}\, du\right).
Calculando cada parte:
\int_{v=0}^{\pi} dv = \pi,
\int_{u=0}^{\sqrt{3}} u^{2}\, du = \left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3})^{3}}{3} = \frac{3^{3/2}}{3} = 3^{1/2} = \sqrt{3}.
Multiplicando:
3\sqrt{2}\cdot \pi \cdot \sqrt{3} = 3\pi \sqrt{2\cdot 3} = 3\pi\sqrt{6}.

Resposta

\,3\pi\sqrt{6}\,

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