Exercício 23. Resolva e escreva a solução em forma de intervalo:
-2(x+1)>4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade e dar a solução em forma de intervalo. A desigualdade dada é -2(x+1)>4. Informações relevantes fornecidas:
  • A incógnita é x.
  • Há um fator -2 multiplicando a expressão (x+1).
  • O sinal da desigualdade é > (maior estrito).
    A tarefa: encontrar todos os valores de x que tornam -2(x+1)>4 verdadeiro e escrever esse conjunto como um intervalo.

Passo 2

Conceito útil (aula rápida): Para resolver desigualdades lineares usamos as mesmas operações que em equações (somar/subtrair ambos os lados, multiplicar/dividir ambos os lados), com uma ressalva importante:
  • Se multiplicarmos ou dividirmos os dois lados por um número positivo, o sinal da desigualdade não muda.
  • Se multiplicarmos ou dividirmos os dois lados por um número negativo, o sinal da desigualdade se inverte (por exemplo, > vira <).
    Isso acontece porque a ordem na reta real se inverte quando multiplicamos por um número negativo. Vamos aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Primeiro, aplicamos a propriedade distributiva para remover o parêntese. A distributiva diz que a(b+c)=ab+ac. Então:
-2(x+1) = -2\cdot x + -2\cdot 1 = -2x-2.
Substituindo na desigualdade:
-2x-2>4.

Passo 4

Agora isolamos x. Primeiro somamos 2 em ambos os lados (somar ou subtrair o mesmo número dos dois lados não altera a desigualdade). Assim:
-2x-2+2 > 4+2 \quad\Rightarrow\quad -2x>6.
Expliquei: somamos 2 para eliminar o -2 do lado esquerdo.

Passo 5

Agora dividimos ambos os lados por -2 para ficar com x isolado. Lembre-se: ao dividir por um número negativo devemos inverter o sinal da desigualdade. Então:
\frac{-2x}{-2} < \frac{6}{-2} \quad\Rightarrow\quad x< -3.
Observe que o sinal virou de > para < por causa da divisão por -2.

Passo 6

Verificação rápida (boa prática): testar um valor menor que -3, por exemplo x=-4:
-2(-4+1) = -2(-3)=6 > 4,
verdadeiro. Testar um valor maior que -3, por exemplo x=-2:
-2(-2+1) = -2(-1)=2 \not> 4,
falso. Portanto x< -3 está correto.

Passo 7

Converter a solução x<-3 para forma de intervalo. Valores menores que -3 correspondem ao intervalo aberto que vai de menos infinito até -3:
(-\infty,-3).

Resposta

(-\infty,-3)

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