Exercício 23 (Verdadeiro ou Falso) Considere-se um sistema de coordenadas ortonormais ( O, \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k} ). Considerem-se os pontos A(2 ; 1 ;-1), B(-1 ; 2 ; 4), C(0 ;-2 ; 3), D(1 ; 1 ;-2); considere-se o plano (P): x-2 y+z=-1. Determinar, com a devida justificativa, se cada uma das proposições seguintes é verdadeira ou falsa.
A reta que contém o ponto (B) e tem vetor diretor \vec{u}=(1 ;-1 ; 1) é perpendicular ao plano (P).

Passo 1

O enunciado dá o plano (P) de equação
x - 2y + z = -1
e afirma que a reta que passa por B e tem vetor diretor \vec{u} = (1,-1,1) é perpendicular a (P). Lembrando que uma reta é perpendicular a um plano se, e somente se, seu vetor diretor for paralelo ao vetor normal do plano.

Passo 2

Identificamos o vetor normal \vec{n} de (P) a partir dos coeficientes de x,y,z. Logo,
\vec{n} = (1,\,-2,\,1).

Passo 3

Verificamos se \vec{u} é múltiplo escalar de \vec{n}. Comparamos componente a componente:
\frac{1}{1} = 1, \quad \frac{-1}{-2} = \tfrac12, \quad \frac{1}{1} = 1.
Como esses quocientes não são todos iguais, \vec{u} não é paralelo a \vec{n}.

Passo 4

Como o vetor diretor não é paralelo ao vetor normal, a reta não é perpendicular ao plano.

Resposta

Falso.

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