Exercício 4.24 Encontre todos os pontos críticos das seguintes funções (os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R} ):
f(x)=6 x^{2}-x^{3}

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os pontos críticos da função
f(x)=6x^{2}-x^{3}
no domínio máximo em \mathbb{R}. Para encontrar pontos críticos, precisamos calcular a derivada f'(x) e resolver onde ela é zero ou indefinida.

Passo 2

Usando a regra de potência, a derivada de f(x) é
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(6x^{2}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr) =12x-3x^{2}.
Fatorando, obtemos
f'(x)=3x\,(4-x).

Passo 3

Como f'(x) é um polinômio, ela existe para todo x\in\mathbb{R}. Então só precisamos resolver
3x\,(4-x)=0.
As soluções são
x=0 \quad\text{e}\quad x=4.

Passo 4

Para apresentar os pontos críticos na forma \bigl(x,f(x)\bigr), calculamos f(0) e f(4):
f(0)=6\cdot0^{2}-0^{3}=0,
f(4)=6\cdot4^{2}-4^{3}=6\cdot16-64=96-64=32.

Resposta

Os pontos críticos de f são \bigl(0,0\bigr) e \bigl(4,32\bigr).

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